Il Moto Browniano

Nel presente post faremo uso di due argomenti già introdotti in altri articoli: "La Legge di Stokes" e "L'Equipartizione dell'Energia" (a cui rimandiamo); entrambi fondamentali per trattare il Moto Browniano che prende il nome dal botanico scozzese Robert Brown che per primo lo descrisse nel 1827.

In breve "con il termine moto browniano si fa riferimento al moto disordinato delle particelle (aventi diametro dell'ordine del micrometro) presenti in fluidi o sospensioni fluide" (come il polline disperso in acqua).
In pratica "questo è dovuto al fatto che la particella in questione subisce un gran numero di eventi di scattering (urti) da parte delle molecole del fluido in cui è immersa" (per i dettagli vedi Wikipedia).

Nel suo articolo del 1905 il giovane Albert Einstein, per trattare teoricamente il moto browniano*, fece l'ipotesi fondamentale che le particelle sospese nel fluido si comportassero come molecole di gas alle quali si può applicare il noto teorema di equipartizione dell'energia (vedi il post "L'Equipartizione dell'Energia"), proprio a causa del continuo bombardamento molecolare**.

Einstein osservò che una particella di massa m e raggio r immersa in un fluido (in equilibrio termodinamico alla temperatura T) è, per ipotesi, soggetta alle seguenti tre forze:
a) Forza di attrito viscoso: quella esercitata su di una sfera di raggio r immersa in un fluido che si muove a velocità v(t) (vedi il post "La Legge di Stokes"): F_d(t)=-kv(t) dove k=6πµr e µ è il coefficiente di viscosità.
b) Forza d'urto casuale: dovuta agli urti delle molecole del fluido con la particella, la indicheremo genericamente così: F_s(t).
Nota: poiché per ipotesi la forza F_s(t) fluttua continuamente, senza direzioni privilegiate, il suo valore medio è nullo: <F_s(t)>=0.

c) Forza di gravità: si suppone che la forza F_g (data la piccola massa m della particella in sospensione) sia trascurabile rispetto agli urti delle molecole e quindi non la considereremo: F_g≈0.

Perciò la risultante F(t) delle forze applicate è F(t)=F_d(t)+F_s(t) e quindi, considerando per semplicità solo l'asse X, dalla seconda legge di Newton (cioè F(t)=md²x(t)/dt²) risulta:

md²x(t)/dt²=-kdx(t)/dt+F_s(t)

dove x(t) indica la posizione della particella lungo X al tempo t e dove dx(t)/dt=v(t) è la velocità istantanea della particella; si tratta perciò di trovare il valore di x(t) quale soluzione della precedente equazione.

Tuttavia, poiché il valore medio della posizione x(t) è nullo (cioè <x(t)>=0 essendo la direzione degli urti del tutto casuale la particella in media non si sposta), è molto più utile ricavare lo spostamento quadratico medio <x²(t)> che, essendo indipendente dal segno (cioè dalla direzione di spostamento), è sicuramente non nullo e valutabile sperimentalmente.

Per trasformare l'equazione precedente in funzione di x²(t) (e poi facendo la media) si osservi che in generale, applicando le regole di derivazione, si ottiene (derivando per due volte x²(t)):

dx²(t)/dt=2x(t)dx(t)/dt   =>   d²x²(t)/dt²=2(dx(t)/dt)²+2x(t)d²x(t)/dt²

da cui segue subito: 2x(t)d²x(t)/dt²=d²x²(t)/dt²-2(dx(t)/dt)².

Quindi moltiplicando tutti i termini dell'equazione differenziale per 2x(t) e sostituendo il valore di 2x(t)d²x(t)/dt² prima ricavato si ha:

md²x²(t)/dt²-2m(dx(t)/dt)²=-2kx(t)dx(t)/dt+2x(t)F_s(t)

(si ricordi che (dx(t)/dt)²=v²(t)).

Se infine consideriamo i valori medi dei vari termini (in linea con la nostra trattazione statistica), si ottiene la seguente equazione in funzione di <x²(t)> (prendendo i valori medi dell'equazione sopra e riordinando i termini):

md²<x²(t)>/dt²+kd<x²(t)>/dt=2m<v²(t)>+2<x(t)F_s(t)>

dove abbiamo sostituito 2x(t)dx(t)/dt con dx²(t)/dt (vedi sopra).

Poiché <x(t)F_s(t)>=<x(t)><F_s(t)>=0 (essendo x(t) e F_s(t) due variabili indipendenti con <F_s(t)>=0) ed essendo per il Teorema di equipartizione dell'energia (1/2)m<v²(t)>=(1/2)k_BT (questo è il punto cruciale del ragionamento) l'equazione precedente prende la forma di un'equazione differenziale del secondo ordine in y(t)=<x²(t)>:

md²y(t)/dt²+kdy(t)/dt=2k_BT

la cui soluzione è (si può facilmente verificare per sostituzione):

<x²(t)>=(2k_BT /k)[t+(m/k)(e^-kt/m-1)]

dove si è posto per la posizione e la velocità iniziali: x(0)=0 e v(0)=0.

Risulta perciò che per tempi relativamente lunghi (cioè per t>>m/k) si ha

[t+(m/k)(e^-kt/m-1)]-->t

e quindi segue***

<x²(t)>≈2Dt   dove   D=k_BT/k (costante).

Ciò significa che lo spostamento quadratico medio delle particelle (lungo X ma generalizzabile in tre dimensioni) è direttamente proporzionale al tempo (essendo D costante, fissata la temperatura T).
Nota: si osservi che la costante D è proporzionale alla temperatura T e inversamente proporzionale a k=6πµr con µ coefficiente di viscosità.

Ricordiamo infine che il significato fisico dell'equazione di <x²(t)> è legato alle ipotesi statistiche della teoria cinetica dei gas (da cui discende l'equipartizione dell'energia) e che la dipendenza dal tempo è stata verificata per la prima volta dal chimico-fisico francese Jean Perrin nel 1908, campionando le misure su molti intervalli di tempo di uguale durata.

Ciò che è ancora più notevole è che, grazie a questa argomentazione teorica "nel 1905 Albert Einstein correlò il moto browniano all'esistenza di atomi e molecole che a quell'epoca erano ancora una ipotesi"(!) (vedi Wikipedia).

 (*) La trattazione più semplice qui riportata è stata formulata nel 1908 da Pierre Langevin, sebbene la prima spiegazione quantitativa sia stata data da Einstein nel suo famoso articolo del 1905.
(**) In effetti, se il polline non fosse in continuo movimento lungo direzioni casuali (grazie agli urti delle molecole del fluido) finirebbe sul fondo del recipiente a causa della forza di gravità a cui è sottoposto.
(***) Poiché la costante di Boltzman è k_B=R/N_A dove N_A è il numero di Avogadro, una volta noto lo spostamento quadratico medio <x²(t)> è possibile derivare il valore di N_A (essendo R la costante universale dei gas).