Un problema di massa variabile

Nel post "L'equazione del Razzo!" (a cui rimandiamo) abbiamo derivato l'equazione dinamica che lega la variazione della quantità di moto totale dP/dt del centro di massa del sistema (razzo+combustibile), alla variazione della velocità del razzo dv/dt e a quella della sua massa dm/dt (dovuta all'espulsione del carburante):

dP/dt=mdv/dt-v_edm/dt

dove v_e è la velocità (supposta costante) di espulsione del carburante rispetto al razzo che a sua volta si muove di velocità v rispetto a un riferimento inerziale*.
Nota: si ricordi che la massa m del razzo comprende anche quella del suo combustibile interno (che poi viene espulso sotto forma di gas).

In questa rappresentazione la parte del sistema di cui studiamo il moto, è proprio quello a massa variabile del razzo, che perde massa espellendo il carburante; in particolare nel caso non agiscano forze esterne sul sistema (come ad esempio la forza di gravità) si ottiene F^ext=dP/dt=0 (cioè la quantità di moto totale si conserva) e l'equazione precedente diventa:

mdv/dt=v_edm/dt

da cui risulta evidente che l'accelerazione del razzo è dovuta alla variazione di massa dello stesso e alla velocità di espulsione costante del carburante.
Nota: nella trattazione classica (non relativistica) la massa totale del sistema massa+carburante si conserva.

Proseguendo con le nostre ipotesi, consideriamo ora un semplice sistema che varia la sua massa interna: ad esempio della sabbia che si accumula, attraverso un imbuto, su un nastro trasportatore (infinito) che si muove a velocità costante.
Nota: supponiamo che il motore del nastro mantenga costante il moto della sabbia, vincendo la sua inerzia, man mano che questa viene depositata.

Consideriamo quindi la quantità di moto di tutti i granelli di sabbia di massa m₁, m₂ ... m_N quando vengono depositati sul nastro; valutiamo per esempio la situazione ad un determinato istante di tempo, quando sul nastro si trovano N particelle di sabbia che si muovono tutte alla velocità v=costante del nastro (posto m=m₁+m₂+...+m_N):

P=m₁v+m₂v+...+m_Nv=mv.

È chiaro che la quantità di moto varia nel tempo (poiché mentre si accumulano i granelli varia m) perciò passando con buona approssimazione al continuo possiamo scrivere (derivando P rispetto al tempo e ricordando che v=costante):

dP/dt=mdv/dt+vdm/dt=vdm/dt.

Nota: si suppone che la funzione m(t) che rappresenta l'accumulo della massa sul nastro sia una funzione continua rispetto al tempo e derivabile.

La variazione della quantità di moto dP/dt, dovuta all'accumulo della sabbia, implica che sul nastro trasportatore agisca una forza motrice esterna F^ext=vdm/dt che mantiene costante la sua velocità (altrimenti con l'inerzia della sabbia il nastro tenderebbe a fermarsi).

Nota: nella trattazione non abbiamo incluso la massa costante M del nastro dato che, risultando (m+M)dv/dt=0 e vd(m+M)/dt=vdm/dt, sarebbe ininfluente.

Ora si ricordi che in generale (vedi il post "L'equazione del Razzo!") per un sistema di N particelle possiamo definire la quantità di moto totale:

P=m₁v₁+m₂v₂+...+m_Nv_N=mv_cm

dove m=m₁+m₂+...+m_N è la massa totale mentre

v_cm=dr_cm/dt

è la velocità del centro di massa del sistema definito come

r_cm=(m₁r₁+m₂r₂+...+m_Nr_N)/m.

Quindi per un sistema a massa variabile m(t) avremo in definitiva:

dP/dt=mdv_cm/dt+v_cmdm/dt

che rappresenta la seconda legge di Newton per un corpo (o un sistema di particelle) a massa variabile (detta anche prima equazione cardinale).

Perciò nel caso in cui risulti v_cm=v=costante si ottiene di nuovo l'equazione prima ottenuta per la sabbia che si accumula sul nastro trasportatore (che è appunto un sistema a massa variabile):

dP/dt=vdm/dt.

Nota: poiché tutti i granelli si muovono a velocità v è ovvio che risulti v_cm=v (infatti essendo P=m₁v+m₂v+...+m_Nv=mv_cm segue v=v_cm).

Ma torniamo al nostro nastro trasportatore: la forza esterna del motore, applicata al nastro per trasportare la sabbia a velocità costante, sarà data come abbiamo visto dalla variazione della sua quantità di moto:

F^ext=dP/dt=vdm/dt.

Da questa relazione possiamo ottenere la potenza fornita dalla forza esterna al nastro, che è così definita:

P^ext=dL/dt=F^extds/dt=F^extv

essendo dL=F^extds il lavoro infinitesimo fatto dalla forza per un tratto ds (con v=ds/dt). Quindi poichè F^ext e v hanno stessa direzione e verso risulta per sostituzione (essendo F^ext=vdm/dt):

P^ext=dL/dt=v²dm/dt.

Si osservi però che il lavoro infinitesimo dL=v²dm fatto dalla forza esterna nel far girare il nastro, non si trasforma completamente nell'energia cinetica di un elemento di massa dm pari a dE_c=(1/2)dmv² ma esattamente la metà finisce in energia interna ∆E_int del sistema; infatti per la conservazione dell'energia deve risultare:

∆E_int=dL-dE_c=(1/2)dL

che viene presumibilmente spesa dalle forze di attrito del nastro per mettere in moto i granelli di sabbia.**

Nota: solo quando m=costante tutto il lavoro L compiuto su un sistema meccanico si traduce in una variazione della sua energia cinetica risultando L=∆E_c (vedi il post "Il Teorema della 'Vis Viva'").

(*) Ricordiamo che vale la seguente relazione: v_e=v_c-v dove v_c è la velocità del combustibile espulso dal razzo rispetto al sistema inerziale prescelto.

(**) Si osservi che "la spiegazione quantistica dell'attrito ne lega le cause all'interazione elettrostatica attrattiva tra le molecole delle superfici di contatto" (vedi Wikipedia); perciò il sistema considerato (sabbia+nastro) non è esclusivamente di tipo meccanico.