martedì 2 giugno 2020

I Teoremi di Gödel, l'IA e... un'ipotesi di lavoro! (prima parte)

In questo e nel prossimo post vogliamo mostrare come i due Teoremi di incompletezza di Gödel (del 1931), sebbene non vietino in alcun modo che l'intelligenza artificiale si possa realizzare (nel senso di seguito specificato), ci impongono tuttavia di operare una scelta, o meglio un'ipotesi di lavoro.

Qui con il termine Intelligenza Artificiale (IA) intendiamo un suo aspetto peculiare, secondo cui un sistema meccanico che computa potrebbe pensare in modo umano; in effetti se si suppone che la mente umana non è altro che una macchina computazionale, la tesi dell'IA ne discende direttamente.

Quindi l'IA suppone che pensare è computare e in particolare si pone l'obiettivo di realizzare una macchina che possa pensare umanamente, in modo cioè che "il processo che porta il sistema intelligente a risolvere un problema ricalchi quello umano" (vedi Wkipedia).

Tuttavia prima di introdurre i teoremi di incompletezza, dobbiamo definire cosa si intende con sistema formale (vedi Wkipedia):
"In logica matematica la nozione di sistema formale è utilizzata per fornire una definizione rigorosa del concetto di dimostrazione"; in pratica un sistema formale è un insieme di regole per costruire dimostrazioni.
Nota: si suppone che il sistema sia corretto, cioè se gli assiomi sono veri i teoremi che si deducono con le regole di inferenza sono anch'essi veri.

In breve il problema che Gödel riesce ad esprimere in modo formale nei suoi teoremi è quello dell'autoreferenza (vedi Wikipedia) che si presenta quando una proposizione fa una affermazione su se stessa in modo circolare; un problema già noto agli antichi greci come il Paradosso del mentitore.

Si consideri quindi un sistema formale S, evoluto almeno quanto quello piuttosto semplice dell'aritmetica di Peano; Gödel riesce a formalizzare all'interno del sistema S la seguente frase G che afferma (di se stessa):
(G): G non è dimostrabile in S.
Nota: grazie alla fattorizzazione in numeri primi è possibile assegnare ad una qualsiasi frase formale un numero univoco detto numero di Gödel.

Ora se si suppone che S sia un sistema formale corretto e quindi prova solo cose vere, allora G non è dimostrabile, dunque G è vera: ma allora esiste una verità G che il sistema S non può dimostrare!
Nota: se G fosse dimostrabile allora G (che dice di non essere dimostrabile) sarebbe falsa e quindi S non sarebbe corretto perché dimostra una falsità.

Inoltre se G è vera la sua negazione non-G è falsa (per definizione di negazione), ma allora il sistema S (che prova solo cose vere) non può provare nemmeno non-G: dunque l'enunciato G è indecidibile* in S!

-> Enunciamo quindi il primo teorema di Gödel (vedi Wikipedia):
In ogni teoria matematica S sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica, esiste una formula G tale che, se S è coerente**, allora né G né la sua negazione non-G sono dimostrabili in S.
Nota: con coerente si intende che S non è contraddittorio, d'altra parte se il sistema è corretto è anche coerente (non dimostrando falsità).

Si ricordi che se un sistema è incoerente si può dimostrare una certa proposizione P e la sua negazione non-P ma se così fosse qualsiasi proposizione potrebbe essere dimostrata vera (vedi Wikipedia): sarebbe quindi opportuno riuscire a dimostrare in modo certo la coerenza di S.

Tuttavia Gödel riuscì a mostrare formalmente che il seguente enunciato:
"Se S è coerente allora ciò implica G" 
si può dimostrare in S. Ma allora S non può dimostrare la sua coerenza altrimenti G sarebbe dimostrabile, e ciò è escluso dal primo teorema.

-> Ecco quindi il secondo teorema di Gödel (vedi Wikipedia): 
Sia S una teoria matematica sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica: se S è coerente, non è possibile provare la coerenza di S all'interno di S.
Nota: la coerenza dell'aritmetica fu poi dimostrata nel 1936 in ambito metamatematico da Gerhard Gentzen grazie agli ordinali transfiniti.

Nel prossimo post mostreremo come le argomentazioni espresse nei teoremi di Gödel non siano conclusive sulla possibile realizzazione dell'IA come sopra specificato, ma ci impongano una scelta ben precisa nell'approccio alla comprensione delle nostre capacità cognitive e quindi della nostra mente.

(*) Il risultato è notevole: si dimostra l'indecibilità di una formula G nel sistema S alla quale è tra l'altro collegata la coerenza di S (vedi oltre).
(**) In realtà Gödel richiese la w-coerenza di S che è più forte della sola coerenza, ma poi Rosser dimostrò che non era necessaria.

(Per chiarimenti su questo post vedi l'ottimo video di Francesco Berto)

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