Il gatto di Schrödinger... è vivo e morto?!

Il paradosso del gatto di Schrödinger è ben descritto su Wikipedia e lo riassumeremo di seguito, ma quello che ci interessa mostrare qui è che non è corretto affermare che il gatto si trova in una sovrapposizione di stati (vivo e morto) come spesso si sente dire da alcuni divulgatori.

In breve, il sistema è composto da un gatto chiuso in una scatola insieme a un atomo radioattivo: l'atomo può essere integro o decaduto e quindi il gatto può essere vivo o morto con una probabilità del 50% (in un intervallo pari al tempo di dimezzamento dell'atomo*); fino a quando non viene eseguita una misurazione, lo stato del sistema rimane indeterminato.

Ora per descrivere lo stato del sistema così definito:

|gatto vivo, atomo integro>   oppure   |gatto morto, atomo decaduto>

possiamo introdurre per semplicità la simbologia già utilizzata per descrivere formalmente un sistema composto da due elettroni con spin uguali ed opposti (vedi il post "Stati misti, intrecciati e... il gatto!").

Perciò nel nostro caso porremo questi due stati (dove u è up e d è down):

|ud> indica lo stato: |gatto vivo, atomo integro>
|du> indica lo stato: |gatto morto, atomo decaduto>

quindi lo stato del sistema in sovrapposizione quantistica è così definito:

Ψ=(1/2)^1/2|ud>+(1/2)^1/2|du>

dove il fattore (1/2)^1/2 elevato al quadrato definisce la probabilità del 50% che si misuri uno dei due stati |ud> oppure |du>.

Si osservi quindi che la sovrapposizione tra lo stato |ud> e quello |du> riguarda l'intero sistema e non esclusivamente il gatto oppure l'atomo radioattivo presi sigolarmente, ciò significa che questo stato:

Ψ_G=(1/2)^1/2|u>+(1/2)^1/2|d>

relativo al gatto (vivo e morto) oppure all'atomo (integro e decaduto) non è previsto dal formalismo e, come vedremo di seguito, fa una bella differenza.

Analizziamo quindi lo stato completo del sistema introducendo la matrice di densità ρ (per i dettagli vedi il post "Stati misti, intrecciati e... il gatto!"):

ρ=|Ψ><Ψ|=(1/2)(|ud>+|du>)(<ud|+<du|)

 per cui svolgendo il prodotto si ottiene:

ρ=(1/2)(|ud><ud|+|ud><du|+|du><ud|+|du><du|)

e quindi posto |u>=(1,0)^T e |d>=(0,1)^T (dove T indica la riga trasposta) e svolgendo i prodotti sopra definiti, si ottiene la matrice [4x4]:

Si osservi che risultando ρ=ρ² lo stato gatto-atomo definisce un stato puro che è quello sopra definito da Ψ=(1/2)^1/2|ud>+(1/2)^1/2|du>; invece quando lo stato è misto significa che c'è incertezza statistica tra diversi stati puri.
Nota: per chiarimenti vedi il post "Stati misti, intrecciati e... il gatto!".

Tuttavia la matrice densità ρ rappresenta il sistema completo, mentre noi vogliamo misurare lo stato del sottositema gatto (o quello dell'atomo); inoltre si osservi che la misura dello stato di uno determina subito lo stato dell'altro facendo collassare lo stato del gatto-atomo in sovrapposizione.
Nota: lo stato gatto-atomo è detto entanglement proprio perché esiste questa correlazione quantisitica istantanea tra i due sottositemi.

Quindi per determinare lo stato del sottositema gatto (come già spiegato in un precedente post), dobbiamo calcolare la matrice ridotta ρ_G (partendo dalla matrice densità), che nel caso dello stato del gatto risulta:

ρ_G=1/2(|u><u|+|d><d|)=1/2(1,0)^T(1,0)+1/2(0,1)^T(0,1)=(1/2)I₂

dove con I₂ abbiamo indicato la matrice identità [2x2].
Nota: si osservi che i termini fuori diagonale di ρ_G, responsabili delle interferenze quantistiche, sono nulli.

Poiché risulta ρ_G≠ρ_G² (essendo I=I²) siamo in presenza di uno stato misto e ciò significa che gli stati possibili del gatto non sono in sovrapposizione quantistica, l'incertezza è in realtà dovuta alla incompleta conoscenza dello stato del sistema completo gatto-atomo (poiché in effetti ρ_G considera solo il sottositema gatto) e la probabilità statistica classica che il sottositema gatto sia up (cioè vivo) oppure down (morto) è pari a 1/2.

In definitiva il gatto non è mai in sovrapposizione con se stesso ma è in correlazione quantistica col resto del sistema (entanglement); inoltre la probabilità del 50% di trovarlo vivo o morto è di tipo statistico classico**.

In realtà il vero paradosso è che a differenza della meccanica classica, nemmeno in linea di principio si può stabilire con certezza lo stato del sottosistema gatto (o del sottosistema atomo) prima della misura***.

(*) Il decadimento di N atomi radioattivi segue la legge dN(t)/dt=-kN(t) da cui N(t)=N₀e^-kt dove N₀ è il numero di atomi iniziale. Quando N(t_d)=N₀/2 dove t_d è il tempo di dimezzamento, si ha N₀/2=N₀e^-kt_d da cui t_d=ln2/k che è l'intervallo in cui un atomo può decadere con probabilità del 50%.
(**) In generale possiamo interpretare questo sistema come quello costituito da un apparato di misura classico (il gatto) e l'oggetto quantistico misurato (l'atomo radioattivo); le conclusioni rimangono le stesse: il sistema apparato-oggetto è in entaglement e la misura ha un esito probabilistico classico tra gli stati possibili (e può essere ovviamente diverso dal 50%).
(***) Le teorie a variabili nascoste affermano invece che la conoscenza quantistica del sistema composto non è completa poiché lo stato dei singoli sottositemi non è noto con certezza, perciò si hanno esiti probabilistici.