Energia, Tempo e indeterminazione

In riferimento al precedente post "Indeterminazione: Principio o Teorema?" mostriamo ora come è possibile derivare il principio di indeterminazione se si assume che una particella è descrivibile come un pacchetto d'onde.
Nota: il comportamento ondulatorio di una particella è sempre duale a quello corpuscolare (vedi il post "Il dualismo onda-particella").

È noto che per un pacchetto d'onde classico (dove ∆x rappresenta la sua estensione spaziale e ∆t l'intervallo di tempo di spostamento del pacchetto), valgono le seguenti relazioni:

∆x∆k≥2π   e   ∆w∆t≥2π   (1)

dove per definizione k=2π/L e w=2π/T mentre il segno "≥" dipende dalla forma del pacchetto d'onde considerato.
Nota: ricordiamo che L e T sono la lunghezza e il periodo di un'onda qualsiasi del pacchetto, mentre V_g=∆w/∆k è la velocità del gruppo di onde (vedi il post "Velocità di Fase e di Gruppo!").

Ora dalle due note equazioni ipotizzate valide per il comportamento ondulatorio e corpuscolare delle particelle*: 

p=h/L (De Broglie)   e   E=h/T (Einstein)

dove p ed E sono rispettivamente la quantità di moto e l'energia di una particella, possiamo derivare direttamente dalla (1), per sostituzione, le seguenti relazioni**:

∆x∆p≥h   e   ∆E∆t≥h.

Nota: in realtà queste relazioni non sono esatte poiché manca il fattore 1/4π correttamente derivato dai postulati della meccanica quantistica.

Si noti che la prima delle due relazioni (corretta dal fattore 1/4π ):

∆x∆p≥h/4π

è già stata discussa nel precedente post "Indeterminazione: Principio o Teorema?" e rappresenta il principio di indeterminazione di Heisenberg, valido per la posizione x e la quantità di moto p di una qualsiasi particella.

Vediamo quindi la seconda relazione (anch'essa corretta dal fattore 1/4π):

∆E∆t≥h/4π   (2)

dove è fondamentale osservare che in realtà "ΔE è la differenza tra due valori esatti dell'energia misurati in due istanti diversi" (vedi Wikipedia).

Quindi "questa relazione ha un significato diverso rispetto a quello che lega posizione e impulso" dato che "l'energia si può misurare con precisione arbitraria in ogni istante di tempo" (ciò è vero almeno quando è noto l'hamiltoniano del sistema) al contrario della posizione x e della quantità di moto p che non sono mai misurabili con precisione contemporaneamente.
Nota: in realtà il tempo quantistico è un parametro indipendente quindi non è una grandezza osservabile del sistema soggetta a indeterminazine.

 In generale è possibile interpretare questa relazione affermando che se la durata ∆t di uno stato è limitata (ad esempio la vita media di una particella o lo stato eccitato di un atomo), la sua energia varierà di una quantità ΔE≥(h/4π)/∆t nel tempo ∆t (ad esempio la particella decade o passa nello stato a minor energia); è evidente che nel caso limite di uno stato stazionario (cioè ∆t=∞) la sua variazione di energia sarà ovviamente nulla (ΔE=0).

È chiaro che il segno ≥ implica una relazione tra energia e tempo che non è definita con precisione; in questo senso si può dire semplicemente che "se la durata di uno stato è limitata la sua variazione di energia è indefinita"; o quanto meno che in un tempo ∆t si potrà avere una variazione di energia pari a ∆E≥(h/4π)/∆t (vedi Wikipedia).

In definitiva si può affermare che la variazione di energia di un sistema fisico e il relativo intervallo temporale in cui ciò si verifica, sono tra loro inversamente correlati secondo la relazione (2); ciò significa che affinché si verifichi una variazione di energia ΔE è richiesto un tempo ∆t≥(h/4π)/∆E o anche, in modo reciproco, che è necessario un tempo ∆t perché si verifichi una variazione di energia*** ∆E≥(h/4π)/∆t.
Nota: è forse controintuitivo ma minore è il tempo e maggiore è la variazione di energia permessa.

Si osservi però che abbiamo esaminato il principio di indeterminazione nel contesto quantistico "classico"; tuttavia nell'ambito relativistico della teoria dei campi, si ritiene che esso consenta delle fluttuazioni quantistiche del vuoto con la continua creazione/annichilazione di particelle virtuali (poichè più breve è ∆t maggiore è l'indeterminazione di energia ΔE del vuoto).

(*) L'equazione E=h/T è stata proposta per la prima volta da Planck che suppose la quantizzazione dell'energia, emessa o assorbita, dalle pareti di un corpo nero; ma è stato Einstein ad affermare per primo che fosse proprio la radiazione elettromagnetica ad essere costituita da fotoni cioè quanti di luce discreti (vedi il post "Un effetto Foto-elettrico!").

Mentre per chiarimenti sulla relazione di de Broglie p=h/L vedi il post "L'ipotesi di de Broglie: L=h/p".
(**) La derivazione del principio di indeterminazione dalle relazioni (1) è stata proposta per la prima volta dal fisico danese Niels Bohr poco dopo la formulazione di Heisenberg (del 1927).
(***) Ad esempio applicata ad un quanto di energia ∆E=h/∆T l'equazione (2) in pratica afferma che "non si può stabilire la frequenza di una radiazione in meno tempo di quello che la luce impiega per fare un'oscillazione completa" (vedi Wikipedia); cioè è necessario un tempo ∆T affinché possa essere rilevata una variazione di energia ΔE.