La Legge di Stokes

Per introdurre la legge di Stokes dobbiamo prima derivare il coefficiente di viscosità di un liquido; ricordiamo che con viscosità si intende "una grandezza fisica che quantifica la resistenza dei fluidi allo scorrimento, quindi la coesione interna del fluido" (vedi Wikipedia).

A tale scopo consideriamo un fluido che scorre tra due piani paralleli posti a distanza z e supponiamo che il piano superiore (di superficie S) sia posto in movimento costante v_z da una forza F applicata tangenzialmente al piano*; mentre il piano inferiore è in quiete rispetto al laboratorio.
Inoltre, a causa della viscosità tra il piano superiore e il fluido sottostante, anche il fluido a contatto verrà messo in moto trascinando a sua volta gli strati sottostanti (cioè la viscosità agisce anche tra gli strati stessi del fluido).

Immaginiamo quindi che il fluido sia costituito da strati elementari (paralleli ai due piani) ognuno di spessore infinitesimo ∂z e supponiamo che ogni strato elementare differisca di una velocità relativa v costante da quello del corrispondente strato sottostante (supponiamo cioè un flusso laminare).

Ora la deformazione ø dello strato di fluido considerato, dovuta alla forza applicata F (o meglio allo sforzo di taglio tangenziale definito come il rapporto F/S vedi oltre), sarà data per definizione dallo spostamento infinitesimo ∂x delle particelle del fluido dello strato considerato, rispetto allo spessore dello strato stesso e pari a ∂z:

ø=∂x/∂z

dove ∂x=v∂t è lo spostamento percorso nel tempo ∂t dalle particelle dello strato in esame con velocità relativa v rispetto a quello sottostante.
Nota: la definizione di deformazione ø=∂x/∂z dovuta allo sforzo di taglio è l'analogo di quella data per lo sforzo di trazione ε=δl/l che indica la deformazione lungo un campione di lunghezza l.

Inoltre la relazione che lega lo sforzo di taglio, definito come il rapporto F/S, alla variazione della deformazione ∂ø nel tempo ∂t è per definizione (fissata temperatura e pressione):

F/S=µ∂ø/∂t

dove µ è il ricercato coefficiente di viscosità del liquido.
Nota: possiamo anche scrivere (F/S)∂t=µ∂ø e integrando nel tempo si ottiene (F/S)t=µø cioè la deformazione ø nel tempo è proporzionale allo sforzo di taglio e inversamente proporzionale a µ: ø=(F/S)t/µ.

Infine avendo definito ø=∂x/∂z segue ∂ø/∂t=∂²x/∂z∂t=∂v/∂z e quindi si ha:

F/S=µdv/dz.

Nota: v(z)=∂x/∂t è costante rispetto a t ma varia rispetto alla distanza z tra i due piani; inoltre si ha per le derivate incrociate ∂²x/∂z∂t=∂²x/∂t∂z=∂v/∂z essendo dx(z,t)=(∂x/∂z)dz+(∂x/∂t)dt un differenziale esatto.

In definitiva avremo perciò, come definizione del coefficiente di viscosità (valido nel caso considerato per lo scorrimento tra due piani): 

µ=(F/S)(dz/dv)=(F/S)(z/v_z)

essendo per ipotesi dv/dz=v_z/z il gradiente di velocità lungo z (ricordiamo che v_z è la velocità del piano superiore mentre z è la distanza tra i due piani).
Nota: è necessario osservare però che "normalmente accanto a ogni misura di viscosità, occorre indicare in che condizioni e con quale strumento (inclusi marca e modello) è stata realizzata" (vedi Wikipedia).

Si noti che questa relazione è valida per un fluido newtoniano, un fluido cioè dove "la viscosità dipende, per definizione, solo dalla temperatura e dalla pressione (e dalla composizione chimica del fluido se esso non è una sostanza pura), ma non dalla forza applicata" (vedi Wikipedia).

Il significato fisico di µ per un fluido è in realtà da ricercare nelle forze di coesione intermolecolari; infatti all'aumentare della temperatura, e quindi dell'energia cinetica delle molecole, la viscosità diminuisce poiché si riduce l'effetto delle forze di coesione tra le molecole (accade viceversa nei gas).

A questo punto, come anticipato, abbiamo tutti gli elementi per introdurre la legge di Stokes che definisce una particolare forza di attrito dinamica** che indicheremo con F_d.

Ecco l'enunciato (vedi Wikipedia):

"La legge di Stokes del 1851 esprime la forza di attrito viscoso a cui è soggetta una sfera in moto rispetto ad un fluido, con un numero di Reynolds R_e minore di 10⁵ (cioè per un flusso laminare)***: 

F_d=-6πµrv

dove F_d è la forza dinamica di attrito viscoso, µ è il coefficiente di viscosità, r è il raggio della sfera e v è la velocità della sfera rispetto al fluido".
Nota: quando il numero di Reynolds è superiore a 10⁵ (quindi per un flusso turbolento) la legge di Stokes diviene quadratica, cioè è proporzionale al quadrato della velocità.

In particolare si osservi che il numero di Reynolds R_e prima citato è una costante adimensionale che "permette di valutare se il flusso di scorrimento di un fluido è in regime laminare (in corrispondenza del quale si hanno valori più bassi del numero di Reynolds) o turbolento (in corrispondenza del quale si hanno valori più elevati del parametro)" (vedi Wikipedia).
Nota: nel post "Analisi dimensionale: un esempio!" abbiamo derivato la relazione R_e=vρd/µ dove ρ è la densità del fluido, d il diametro del tubo in cui scorre e v è la velocità del fluido.

(*) Il moto è costante proprio perché la forza F (costante) che trascina il piano è controbilanciata (una volta raggiunto lo stato stazionario) dalla forza di attrito viscoso del fluido.
(**) La legge di Stokes è valida sperimentalmente solo per piccole sfere (al più di circa 2 millimetri) fatte cadere in recipienti relativamente grandi (come ad esempio cilindri di 6-7 cm di diametro e 25-30 cm di altezza).
[Per una applicazione della legge di Stokes vedi il post "Il Moto Browniano"]
(***) Coerentemente abbiamo supposto un flusso laminare anche nella derivazione del coefficiente di viscosità µ (vedi sopra).