Analisi dimensionale: un esempio!

In questo post vedremo come a volte, ricorrendo ad una semplice analisi dimensionale, è possibile risolvere un problema fisico anche complesso; ad esempio quello di determinare la velocità critica alla quale il flusso di un fluido diventa turbolento.

Abbiamo già trattato un liquido con flusso laminare (vedi il post "La Legge di Stokes"): ricordiamo di nuovo che "in fluidodinamica si parla di flusso laminare o di regime laminare quando il moto del fluido avviene con scorrimento di strati infinitesimi gli uni sugli altri senza alcun tipo di rimescolamento di fluido, neanche su scala microscopica" (vedi Wikipedia).

In generale si può affermare che "il flusso di un fluido viscoso a basse velocità si può considerare laminare; tuttavia quando la velocità è sufficientemente elevata, il moto diventa disordinato e irregolare, cioè turbolento"*.
Si pone perciò il problema di determinare la velocità critica alla quale il moto di un fluido diventa turbolento; in pratica si vuole sapere da quali parametri dipende la velocità media degli strati di fluido (rispetto al tubo in cui scorre), alla quale il flusso laminare diventa irregolare.

Perciò la prima domanda che dobbiamo porci è: da cosa dipende la velocità critica v_c del fluido in esame?
Possiamo ragionevolmente supporre che essa dipenda dal coefficiente di viscosità µ, dalla densità ρ del fluido e dal diametro d del tubo; scriviamo quindi la seguente relazione di proporzionalità:

v_c÷µ^aρ^bd^c

dove il segno ÷ indica appunto una relazione di proporzionalità (diretta o inversa) che dipende dal segno degli esponenti a, b e c che ora ci proponiamo di ricavare.

Riscriviamo perciò l'equazione precedente in termini dimensionali:

 [v_c]=[µ^a][ρ^b][d^c]

e quindi, ricordando che le dimensioni di tutte le grandezze fisiche sono espresse dai relativi simboli (in questo caso M, L, e T che rappresentano rispettivamente massa, lunghezza e tempo), possiamo scrivere una relazione tra le dimensioni fondamentali (vedi Wikipedia) delle singole grandezze fisiche**:

(L/T)=(M/LT)^a(M/L³)^b(L)^c.

È facile risolvere questa equazione dimensionale e ricavare gli esponenti:

a=1, b=-1 e c=-1

e quindi, tornando all'equazione di proporzionalità prima introdotta, si ottiene per la velocità critica del fluido (a meno di una costante adimensionale):

v_c÷µ/ρd.

In effetti, per poter inserire il segno di uguale (cioè per ottenere una relazione che risulti esatta sperimentalmente) dobbiamo introdurre una costante adimensionale, indicata con R_e e detta numero di Reynolds:

v_c=R_eµ/ρd.

Si noti che il numero di Reynolds R_e=vρd/µ determina, a parità dei valori di µ, ρ e d, il flusso turbolento (oppure laminare o di transizione intermedia) di un determinato fluido; ciò significa che in generale v indica una velocità qualsiasi del fluido ma una volta determinata sperimentalmente la velocità critica v_c alla quale il flusso diventa turbolento (oppure laminare o di transizione) si può ottenere il valore corrispondente di R_e della conduttura in esame (vedi Wikipedia).

Si osservi infine che dalla relazione precedente risulta evidente che la viscosità µ del fluido determina la sua resistenza nel mantenere un flusso laminare (poiché fa aumentare la velocità critica del fluido alla quale diventa turbolento) ovviamente a parità di densità ρ del fluido e di diametro d del tubo.

Se in particolare fissiamo pressione e temperatura (e quindi la viscosità non varia se il fluido è newtoniano)*** e se la densità ρ è costante (fluido incomprimibile) allora il valore di R_e dipende solo dalla particolare geometria della conduttura: ad esempio, per condutture cilindriche risulta R_e≈4.000 per la velocità critica di passaggio al regime turbolento.

(*) Nel caso di flusso turbolento il moto è regolato dalle leggi del caos deterministico; ciò significa che "se fossimo in grado di conoscere esattamente tutto il campo di velocità del fluido in un dato istante e fossimo in grado di risolvere le equazioni di Navier-Stokes potremmo ottenere tutti i campi del moto futuro. Ma se conoscessimo il campo con una piccolissima imprecisione questa dopo un certo tempo renderebbe la soluzione trovata completamente differente da quella reale" (vedi Wikipedia).
(**) Si veda anche il post "Ma cosa significa Misurare?" dove abbiamo indicato le sette grandezze fondamentali del Sistema Internazionale: il sistema di unità di misura universalmente accettato dai fisici.
(***) "In un fluido newtoniano, la viscosità dipende, per definizione, solo dalla temperatura e dalla pressione (e dalla composizione chimica del fluido se esso non è una sostanza pura), non dalla forza applicata" (vedi Wikipedia).
(Per chiarimenti sulla viscosità si veda il post "La Legge di Stokes").