mercoledì 3 aprile 2013

La composizione del moto!

Come cercheremo di mostrare in questo post, è proprio vero che (come si legge su Wikipedia): "La più importante conseguenza delle trasformazioni galileiane è la composizione delle velocità".

Per chiarire questa affermazione e il suo significato fisico cominciamo col ricordare che "in fisica, una trasformazione galileiana è un insieme di leggi che descrivono il legame tra le coordinate di un oggetto in due sistemi di riferimento cartesiani diversi, l'uno in moto rettilineo uniforme rispetto all'altro, nell'ipotesi che le velocità in gioco siano molto inferiori alla velocità della luce" (vedi Wikipedia).

È infatti noto che per indicare le posizioni e le velocità di un oggetto rispetto a due diversi sistemi di riferimento si può usare il formalismo dei vettori (essendo posizione e velocità in ambito classico delle grandezze vettoriali).

Se ad esempio abbiamo due osservatori O1 e O2 in moto relativo uniforme (per ipotesi coincidenti con l'origine di due sistemi inerziali*), che misurano la posizione di un oggetto P in tempi successivi, possiamo scrivere (utilizzando la somma vettoriale):
P1(t)=P1-2(t)+P2(t)
dove P1(t) indica la posizione dell'oggetto in moto P e P1-2(t) è la posizione dell'osservatore in moto O2 (entrambi visti da O1) mentre P2(t) indica l'oggetto P visto da O2 come indicato in figura:

Trasformazione galileiana posizione.png
Nota: il vettore P è detto vettore di posizione: vedi il post "Cos'è il Vettore di Posizione?".

A questo punto è facile ottenere, per derivazione, la relazione vettoriale tra le diverse velocità**:
v1(t)=dP1(t)/dt=v1-2(t)+v2(t)
ed inoltre, considerando che i due osservatori sono in moto rettilineo uniforme (cioè v1-2(t)=costante), risulterà:
a1(t)=dv1(t)/dt=d[v1-2(t)+v2(t)]/dt=a2(t)
cioè l'oggetto P ha la stessa accelerazione rispetto ad entrambi i riferimenti*** (essendo dv1-2(t)/dt=0).
Nota: si osservi che le trasformazioni galileane (che definiscono le coordinate cartesiane dell'oggetto P rispetto a O1 oppure O2) sono implicite nella relazione vettoriale esposta sopra: P1(t)=P1-2(t)+P2(t).

Possiamo verificare sperimentalmente che le relazioni ottenute prima sono vere e che la composizione vettoriale dei moti ha un effettivo significato fisico (almeno per v<<c).
Ciò significa che, stabilito il carattere vettoriale del moto, possiamo trattare lo spostamento di un corpo, rispetto a sistemi di riferimento diversi, considerando la sua scomposizione in vettori (come visto sopra).

Facciamo subito un esempio.
È noto che un corpo P cade per effetto gravitazionale in assenza della resistenza dell'aria (lungo l'asse verticale Y) con una velocità:
vy(t)=gt
dove g è l'accelerazione gravitazionale, costante in prossimità del suolo.
Integrando possiamo ottenere il suo spostamento lungo Y ad ogni istante, partendo da un punto fissato y(0)=0:
y(t)=(1/2)gt2.
Supponiamo che il corpo P oltre a cadere lungo Y, venga anche sparato come un proiettile lungo l'asse orizzontale X nello stesso istante t=0 (con x(0)=0) ad una velocità vx costante; si avrà perciò uno spostamento:
x(t)=vxt.
Possiamo quindi comporre il moto di y(t) e x(t) lungo gli assi X e Y ottenendo per lo spostamento P(t) del proiettile:
P1(t)=ivxt+j(1/2)gt2
dove i e j sono i versori degli assi X e Y rispettivamente.
Nota: se sostituiamo il valore di t=x/vx in y(t) prima ricavato si ha y(x)=(1/2)g(x/vx)2=kx2 che definisce il moto a parabola di un proiettile, essendo il termine k=(1/2)g(1/vx2) una costante.

Ora ci chiediamo: come viene osservato il moto di P da un osservatore O2 che, per esempio, si muove lungo X a velocità vx uguale a quella del proiettile (con le stesse condizioni iniziali: x(0)=0 e y(0)=0)?

Per rispondere a questa domanda usiamo la composizione del moto. Se indichiamo con P1-2(t) la posizione di O2 rispetto a O1 risulta:
P1-2(t)=ivxt.
Perciò, componendo i vettori di posizione (come visto sopra), si ha P1(t)=P1-2(t)+P2(t) da cui possiamo subito ricavare P2(t) che indica la posizione del proiettile rispetto a O2:
P2(t)=P1(t)-P1-2(t)=j(1/2)gt2.
Ciò in pratica significa che l'osservatore in moto O2 vede precipitare sotto di lui, in linea retta, il proiettile lanciato da O1 (con velocità vy(t)=gt).

È noto che quanto visto sopra per la composizione dei moti non vale più quando si devono sommare alte velocità prossime a quelle di un'onda elettromagnetica (poiché non è più possibile effettuare misure simultanee in entrambi i riferimenti); in questo caso alle trasformazioni di Galileo (valide solo per velocità minori di c) si devono sostituire quelle di Lorentz (valide per qualsiasi velocità) e al posto dei vettori si usano i quadrivettori.
Nota: per una breve introduzione alla teoria della Relatività speciale vedi il post "La Relatività ristretta o... speciale!"

(*) Per chiarire il significato fisico di sistema inerziale vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale".
(**) Le trasformazioni delle velocità restano invariate anche quando il sistema di riferimento di O2 è traslatorio accelerato poiché i suoi versori (i, j e k) rispetto a O1 sono comunque costanti; si ricordi infatti che in generale risulta: dP/dt=d(ix+jy+kz)/dt=v+(xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt).
(Viceversa per un sistema rotante le derivate dei versori non sono più nulle).
(***) Si osservi che con il solo uso dei vettori di posizione abbiamo in pratica ottenuto il principio di relatività galileiano secondo cui le leggi della meccanica, e quindi la dinamica dei corpi, sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali (dato che le accelerazioni restano invariate).

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