Rotazioni angolari: vettoriali?

Facciamo prima un semplice esperimento e poi vediamo in dettaglio il suo significato fisico.

Prendiamo un libro, poniamolo sulla nostra scrivania (sdraiato sul piano orizzontale) e facciamolo ruotare di due angoli successivi:
-> prima di un angolo α=90° intorno all'asse verticale passante per il centro del libro (in senso orario visto dall'alto);
-> poi di un angolo β=90° intorno all'asse orizzontale passante per il centro del libro (in senso orario fissato un verso dell'asse).
Osserviamo quindi la posizione esatta del libro a cui ci ha condotto la rotazione consecutiva dei due angoli (cioè l'operazione α+β).
Nota: con α e β indichiamo sia gli angoli che le relative operazioni di rotazione, il cui uso è reso chiaro dal contesto.

Ora proviamo a fare le stesse operazioni di rotazione ma invertendo l'ordine, cioè prima applichiamo al libro la rotazione dell'angolo β e poi quella dell'angolo α. Con nostra sorpresa arriveremo ad una posizione finale diversa del nostro libro, da cui si può dedurre che in generale:

α+β≠β+α .

Nota: ciò in pratica significa che le operazioni di rotazione non obbediscono alla legge commutativa della somma.

La prima deduzione che possiamo trarre dal nostro esperimento è che le rotazioni angolari non possono essere considerate come se fossero dei vettori, poiché sappiamo che per essi vale la proprietà commutativa della somma.

Tuttavia ripetiamo l'esperimento per angoli diversi, più piccoli di 90°; ad esempio prima per 45° poi per 30° ed infine per soli 10°.

Se eseguiamo con precisione ogni rotazione e prendiamo nota della posizione iniziale e finale del libro, ci accorgiamo che man mano che gli angoli diventano sempre più piccoli, in pratica non si osservano differenze nel risultato finale (una volta invertito l'ordine delle rotazioni); perciò per piccoli angoli risulta:

α+β≈β+α

relazione sempre meno approssimata quanto minori sono gli angoli di rotazione.

In particolare deduciamo che se gli angoli sono infinitesimi (cioè se prendiamo dα e dβ) possiamo scrivere:

dα+dβ=dβ+dα

e quindi è corretto affermare che rotazioni angolari infinitesime possono essere rappresentate da vettori: basta infatti associare l'ampiezza elementare dell'angolo alla lunghezza del vettore e stabilire una direzione e un verso legato alla rotazione (ad esempio usando la regola della mano destra).

Questo non è un risultato di poco conto poiché ciò significa che altre grandezze fisiche, definite in termini di rotazioni angolari infinitesime, possono essere trattate a tutti gli effetti come dei vettori.

Prendiamo ad esempio la velocità angolare istantanea così definita:

w=dα/dt

che come è noto è rappresentata da un vettore; ma anche per l'accelerazione angolare si ha

a=dw/dt 

poiché la derivata di un vettore è a sua volta un vettore*.
Nota: invece la velocità angolare media w=∆α/∆t non può essere definita come un vettore poiché non dipende da una rotazione angolare infinitesima.

Ciò significa che in tutti questi casi, una volta associato il modulo della grandezza fisica alla lunghezza del vettore e stabiliti una direzione e un verso legato alla rotazione**, possiamo utilizzare tutto l'apparato formale dei vettori per trattare le grandezze vettoriali considerate.

(*) Se definiamo il vettore w(t)=iw_x(t)+jw_y(t)+kw_z(t) allora dw/dt=idw_x/dt+jdw_y/dt+kdw_z/dt=a è il vettore dell'accelerazione angolare; in particolare se w=cost. (ma dw/dt≠0) segue a_|_w: infatti se w²=ww=cost. allora dww/dt=wdw/dt+wdw/dt=0 e quindi wdw/dt=0).
(**) Ad esempio nel caso della velocità angolare istantanea il relativo vettore è definito lungo l'asse di rotazione e il verso determina il senso della rotazione, secondo la regola della mano destra (vedi Wikipedia).