È noto che secondo il temperamento equabile una ottava musicale (cioè un intervallo di frequenza con rapporto 2:1) è suddivisa in 12 intervalli uguali (semitoni), dove ogni singola nota si ottiene a partire da una frequenza stabilita, moltiplicata per un coefficiente pari a 21/12 che definisce appunto un semitono (cioè l'intervallo di frequenza più piccolo tra due note).
Se ad esempio prendiamo la frequenza f1=261,6 Hz (come quella assegnata al Do centrale del pianoforte) e la moltiplichiamo dodici volte per 21/12, otterremo in sequenza la frequenza di tutte le note di quella ottava:
Se ad esempio prendiamo la frequenza f1=261,6 Hz (come quella assegnata al Do centrale del pianoforte) e la moltiplichiamo dodici volte per 21/12, otterremo in sequenza la frequenza di tutte le note di quella ottava:
Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si, Do2
e in particolare la frequenza f2 del secondo Do2 sarà pari a
f2=(21/12)12f1=2f1
cioè esattamante il doppio della frequenza fissata f1 come richiesto.
Ricordiamo che l'alterazione # (diesis) o b (bemolle) indica rispettivamente l'aumento o la diminuzione della nota di un semitono e che ad esempio le seguenti notazioni indicano la stessa identica nota (frequenza):
Ricordiamo che l'alterazione # (diesis) o b (bemolle) indica rispettivamente l'aumento o la diminuzione della nota di un semitono e che ad esempio le seguenti notazioni indicano la stessa identica nota (frequenza):
Do#=Reb - Re#=Mib - Fa#=Solb - Sol#=Lab - La#=Sib
Nota: questa è una caratteristica particolare del temperamento equabile.
È altresì noto che una scala maggiore viene costruita, a partire da una nota di riferimento, con questo schema canonico:
È altresì noto che una scala maggiore viene costruita, a partire da una nota di riferimento, con questo schema canonico:
T-T-S-T-T-T-S
dove T indica l'intervallo di un tono (cioè 2 semitoni) mentre S indica un semitono. Ad esempio se vogliamo costruire la scala di Do avremo:
Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si-Do
ricordando che tra Mi e Fa c'è un semitono come pure tra Si e Do perciò lo schema è rispettato (gli altri intervalli sono di un tono).
Con questo schema possiamo costruire tutte le scale maggiori (utilizzando le 7 note canoniche con le relative alterazioni*) dove però sostituiremo quelle con eventuali doppi diesis con le scale equivalenti** in bemolle:
Con questo schema possiamo costruire tutte le scale maggiori (utilizzando le 7 note canoniche con le relative alterazioni*) dove però sostituiremo quelle con eventuali doppi diesis con le scale equivalenti** in bemolle:
1) Scala di Do: Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si-Do
2) Scala di Do#: Do#-Re#-Mi#-Fa#-Sol#-La#-Si#-Do#
3) Scala di Re: Re-Mi-Fa#-Sol-La-Si-Do#-Re
4) Scala di Mib: Mib-Fa-Sol-Lab-Sib-Do-Re-Mib
(Scartiamo la scala di Re#: Re#-Mi#-Fa##-Sol#-La#-Si#-Do##-Re#)
(Scartiamo la scala di Re#: Re#-Mi#-Fa##-Sol#-La#-Si#-Do##-Re#)
5) Scala di Mi: Mi-Fa#-Sol#-La-Si-Do#-Re#-Mi
6) Scala di Fa: Fa-Sol-La-Sib-Do-Re-Mi-Fa
7) Scala di Fa#: Fa#-Sol#-La#-Si-Do#-Re#-Mi#-Fa#
8) Scala di Sol: Sol-La-Si-Do-Re-Mi-Fa#-Sol
9) Scala di Lab: Lab-Sib-Do-Reb-Mib-Fa-Sol-Lab
6) Scala di Fa: Fa-Sol-La-Sib-Do-Re-Mi-Fa
7) Scala di Fa#: Fa#-Sol#-La#-Si-Do#-Re#-Mi#-Fa#
8) Scala di Sol: Sol-La-Si-Do-Re-Mi-Fa#-Sol
9) Scala di Lab: Lab-Sib-Do-Reb-Mib-Fa-Sol-Lab
(Scartiamo la scala di Sol#: Sol#-La#-Si##-Do#-Re#-Mi#-Fa##-Sol#)
10) Scala di La: La-Si-Do#-Re-Mi-Fa#-Sol#-La
11) Scala di Sib: Sib-Do-Re-Mib-Fa-Sol-La-Sib
10) Scala di La: La-Si-Do#-Re-Mi-Fa#-Sol#-La
11) Scala di Sib: Sib-Do-Re-Mib-Fa-Sol-La-Sib
(Scartiamo la scala di La#: La#-Si#-Do##-Re#-Mi#-Fa#-Sol##-La#)
12) Scala di Si: Si-Do#-Re#-Mi-Fa#-Sol#-La#-Si
Nota: le scale di Mib/Re#, Lab/Sol# e Sib/La# indicano gli stessi suoni (frequenze), ma quelle in bemolle non hanno doppi # come richiesto.
Si osservi inoltre che le scale di Do#, Fa# e Si nel temperamento equabile hanno gli stessi suoni (frequenze) delle seguenti scale, rispettivamente:
Scala di Reb: Reb-Mib-Fa-Solb-Lab-Sib-Do-Reb (alias scala di Do#)
Scala di Solb: Solb-Lab-Sib-Dob-Reb-Mib-Fa-Solb (alias scala di Fa#)
12) Scala di Si: Si-Do#-Re#-Mi-Fa#-Sol#-La#-Si
Nota: le scale di Mib/Re#, Lab/Sol# e Sib/La# indicano gli stessi suoni (frequenze), ma quelle in bemolle non hanno doppi # come richiesto.
Si osservi inoltre che le scale di Do#, Fa# e Si nel temperamento equabile hanno gli stessi suoni (frequenze) delle seguenti scale, rispettivamente:
Scala di Reb: Reb-Mib-Fa-Solb-Lab-Sib-Do-Reb (alias scala di Do#)
Scala di Solb: Solb-Lab-Sib-Dob-Reb-Mib-Fa-Solb (alias scala di Fa#)
Scala di Dob: Dob-Reb-Mib-Fab-Solb-Lab-Sib-Dob (alias scala di Si)
Nota: questa osservazione sarà utile per completare il nostro schema di simmetria tra le scale maggiori, come vedremo.
Prima di concludere ricordiamo che con intervallo di quinta si intende un intervallo tra una nota e l'altra pari a 7 semitoni, ad esempio tra Do e Sol o tra Sol e Re c'è un intervallo di quinta giusta (in pratica basta contare 5 note in sequenza come ad esempio Do-Re-Mi-Fa-Sol).
Nota: solo quando tra la prima e la quinta nota ci sono 7 semitoni la quinta è giusta: ad es. l'intervallo Si-Fa ha solo 6 semitoni e la quinta è diminuita.
Ora riepiloghiamo le scale con il numero delle loro alterazioni riportando solo la nota che dà il nome alla scala maggiore con il numero di alterazioni tra parentesi, ad esempio avremo Re(2#) per la scala di Re maggiore.
Raccogliamo quindi nella prima riga le scale con i diesis e poi sotto quelle con i bemolle, sempre in ordine crescente:
Do - Sol(1#) - Re(2#) - La(3#) - Mi(4#) - Si(5#) - Fa#(6#) - Do#(7#)
Do - Fa(1b) - Sib(2b) - Mib(3b) - Lab(4b) - Reb(5b) - Solb(6b) - Dob(7b)
È immediato osservare che la prima riga indica le scale ascendenti per quinte passando da Do a Sol, da Sol a Re etc. mentre la seconda riga indica le scale discendenti per quinte passando da Dob a Solb, da Solb a Reb etc. Ebbene questo schema viene indicato come Circolo delle quinte ed è bene illustrato nella seguente figura***:
Nota: questa osservazione sarà utile per completare il nostro schema di simmetria tra le scale maggiori, come vedremo.
Prima di concludere ricordiamo che con intervallo di quinta si intende un intervallo tra una nota e l'altra pari a 7 semitoni, ad esempio tra Do e Sol o tra Sol e Re c'è un intervallo di quinta giusta (in pratica basta contare 5 note in sequenza come ad esempio Do-Re-Mi-Fa-Sol).
Nota: solo quando tra la prima e la quinta nota ci sono 7 semitoni la quinta è giusta: ad es. l'intervallo Si-Fa ha solo 6 semitoni e la quinta è diminuita.
Ora riepiloghiamo le scale con il numero delle loro alterazioni riportando solo la nota che dà il nome alla scala maggiore con il numero di alterazioni tra parentesi, ad esempio avremo Re(2#) per la scala di Re maggiore.
Raccogliamo quindi nella prima riga le scale con i diesis e poi sotto quelle con i bemolle, sempre in ordine crescente:
Do - Sol(1#) - Re(2#) - La(3#) - Mi(4#) - Si(5#) - Fa#(6#) - Do#(7#)
Do - Fa(1b) - Sib(2b) - Mib(3b) - Lab(4b) - Reb(5b) - Solb(6b) - Dob(7b)
È immediato osservare che la prima riga indica le scale ascendenti per quinte passando da Do a Sol, da Sol a Re etc. mentre la seconda riga indica le scale discendenti per quinte passando da Dob a Solb, da Solb a Reb etc. Ebbene questo schema viene indicato come Circolo delle quinte ed è bene illustrato nella seguente figura***:
Ma in breve a cosa serve il circolo delle quinte?
Scopo didattico: è un ottimo strumento mnemonico per ricordare le alterazioni in chiave e visualizzare le relazioni armoniche tra le scale.
Modulazioni armoniche: è una mappa naturale dei cambi di tonalità, infatti modulazioni verso tonalità adiacenti suonano più naturali.
Relazioni tra tonalità: dalla tonica di un accordo si può ad esempio passare alla dominante (quinta sopra) o alla sottodominante (quinta sotto).
Ma soprattutto mette ben in evidenza una perfetta simmetria tra le scale insita nel temperamento equabile, cosa che ad esempio nel temperamento pitagorico o mesotonico era invece imperfetta e asimmetrica, rendendo inoltre anche visivamente l'importanza degli intervalli di quinta.
(*) In ogni scala devono sempre comparire tutte le 7 note canoniche Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si con le eventuali alterazioni (diesis o bemolle).
(**) Due scale maggiori si dicono equivalenti quando contengono la stessa successione di note (frequenze) anche se la notazione è differente, ad esempio le note: Re#=Mib#, Mi#=Fa, etc. nelle scale Re#/Mib.
(***) In figura compaiono anche le scale minori, che si ottengono dalla sesta nota della corrispondente scala maggiore: ad esempio dal La (sesta nota delle scala di Do maggiore) si ottiene la scala di La minore: La-Si-Do-Re-Mi-Fa-Sol-La. Ciò accade perché se prendiamo lo schema ripetuto della scala maggiore: T-T-S-T-T-T-S T-T-S-T-T-T-S si ottiene, a partire dal sesto intervallo, lo schema canonico della scala minore: T-S-T-T-S-T-T.
Scopo didattico: è un ottimo strumento mnemonico per ricordare le alterazioni in chiave e visualizzare le relazioni armoniche tra le scale.
Modulazioni armoniche: è una mappa naturale dei cambi di tonalità, infatti modulazioni verso tonalità adiacenti suonano più naturali.
Relazioni tra tonalità: dalla tonica di un accordo si può ad esempio passare alla dominante (quinta sopra) o alla sottodominante (quinta sotto).
Ma soprattutto mette ben in evidenza una perfetta simmetria tra le scale insita nel temperamento equabile, cosa che ad esempio nel temperamento pitagorico o mesotonico era invece imperfetta e asimmetrica, rendendo inoltre anche visivamente l'importanza degli intervalli di quinta.
(*) In ogni scala devono sempre comparire tutte le 7 note canoniche Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si con le eventuali alterazioni (diesis o bemolle).
(**) Due scale maggiori si dicono equivalenti quando contengono la stessa successione di note (frequenze) anche se la notazione è differente, ad esempio le note: Re#=Mib#, Mi#=Fa, etc. nelle scale Re#/Mib.
(***) In figura compaiono anche le scale minori, che si ottengono dalla sesta nota della corrispondente scala maggiore: ad esempio dal La (sesta nota delle scala di Do maggiore) si ottiene la scala di La minore: La-Si-Do-Re-Mi-Fa-Sol-La. Ciò accade perché se prendiamo lo schema ripetuto della scala maggiore: T-T-S-T-T-T-S T-T-S-T-T-T-S si ottiene, a partire dal sesto intervallo, lo schema canonico della scala minore: T-S-T-T-S-T-T.
