giovedì 14 febbraio 2013

Velocità di Fase e di Gruppo!

Diamo subito le due definizioni di velocità di fase e di gruppo di un'onda:
"In fisica la velocità di fase è la velocità con cui si propaga la fase di un'onda, sia essa elettromagnetica o meccanica. La velocità di fase* può essere visualizzata come la velocità di propagazione di una cresta dell'onda ma non coincide necessariamente con la velocità di propagazione di un segnale che è invece descritta dalla velocità di gruppo" (vedi Wikipedia);
e
"La velocità di gruppo di un'onda è la velocità con cui si propagano nello spazio le variazioni nella forma dell'ampiezza dell'onda. Si tratta della velocità dell'inviluppo o modulante dell'onda" (vedi Wikipedia).

Ricordiamo, prima di chiarire le due definizioni, che in generale un'onda è definita formalmente come f(x,t)=f(x±Vt) (vedi il post "Ma cos'è una 'Onda'?") dove V è una costante dell'onda (che definiremo di seguito) che si propaga lungo l'asse X.

Se ad esempio consideriamo un'onda piana sinusoidale essa è rappresentata dalla seguente funzione**:
f(x,t)=Acos(kx±wt)
dove k=2π/L e w=2π/T (L e T sono la lunghezza e il periodo dell'onda) mentre A indica l'ampiezza dell'onda e l'argomento S=kx±wt viene definito come fase dell'onda periodica*** (dove il segno ± indica l'avanzamento lungo l'asse positivo o negativo dell'onda).
Nota: presi due istanti di tempo t2>t1 e date le ascisse x2=Vt2 e x1=Vt1 segue x2>x1 e x1-Vt1=x2-Vt2; quindi l'argomento (x-Vt) rappresenta un'onda che si sposta nella direzione positiva dell'asse X (viceversa per -V si ha (x+Vt)).

Ora se consideriamo un'onda ideale f(kx±wt), essa è per ipotesi non dispersiva (cioè mantiene la stessa forma durante la propagazione) e inoltre non dissipa energia. Ciò significa che dato un punto P dell'onda durante lo spostamento, questa ripresenta periodicamente lo stesso valore (cioè risulta fp(kx±wt)=costante) ogni volta che la fase S risulta:
S=kx±wt=costante 
da cui segue derivando S rispetto al tempo (cioè dS/dt=kdx/dt±w=0):
V=dx/dt=±w/k
perciò V definisce la velocità di fase di un punto P qualsiasi dell'onda.

Per chiarire invece il concetto di velocità di gruppo vediamo un semplice esempio.
Consideriamo due diverse onde periodiche, rispettivamente con velocità di fase V1=w1/k1 e V2=w2/k2 ma stessa ampiezza A0, che si propagano lungo l'asse X:
A1(x,t)=A0cos(k1x-w1t)   e   A2(x,t)=A0cos(k2x-w2t).
Ora per sovrapposizione, cioè facendo la loro somma algebrica (usando le formule di prostaferesi per la somma dei coseni) si ottiene una terza onda che chiameremo A3(x,t):
A3(x,t)=A1(x,t)+A2(x,t)=A(x,t)cos(kx-wt)
dove w=(w1+w2)/2k=(k1+k2)/2 e dove in particolare risulta per l'ampiezza A(x,t) (definita modulante dell'onda):
A(x,t)=2A0cos[(k1-k2)x-(w1-w2)t]/2.
Nota: per tutte le onde definite dalla generica funzione f(x,t)=f(x±Vt), che ricordiamo è una soluzione dell'equazione differenziale delle onde, vale il principio di sovrapposizione: date due o più soluzioni di questa equazione, anche la loro somma algebrica è una soluzione della stessa equazione.

Si noti che anche A3(x,t) è formalmente un'onda, poiché ottenuta per sovrapposizione di due onde (si veda la nota sopra); in effetti l'ampiezza A(x,t) ha il solo effetto di modulare l'onda A3(x,t) che ha pulsazione w e numero d'onda k.
Possiamo perciò derivare la velocità di fase dell'onda A3(x,t), che come abbiamo visto sopra sarà data dal rapporto w/k:
V=w/k=(w1+w2)/(k1+k2).

Tuttavia si osservi che anche l'ampiezza A(x,t)=2A0cos(kx-wt) si comporta come un'onda con pulsazione w=(w1-w2)/2 e numero d'onda k=(k1-k2)/2.
Quindi possiamo derivare (in modo analogo a quanto fatto sopra per V) la velocità con cui si muovono i piani di fase costante dell'ampiezza A(x,t) (ad esempio i massimi di A(x,t)); infatti posto:
S=kx-wt=costante
segue per derivazione di S (cioè dS/dt=kdx/dt-w=0):
Vg=dx/dt=(w1-w2)/(k1-k2)=∆w/∆k
che è la velocità di gruppo Vg della modulante A(x,t) dell'onda portante cos(wt-kx), essendo l'onda complessiva: A3(x,t)=A(x,t)cos(wt-kx).

Si osservi che l'onda A3(x,t) si dice dispersiva proprio perché non mantiene la stessa identica forma durante la propagazione (essendo Vg≠V) ma viene modulata dall'ampiezza A(x,t).
Nota: se per le due onde A1 e A2 avessimo V=w1/k1=w2/k2 risulterebbe V=Vg senza avere dispersione ma solo traslazione del segnale.
(Qui puoi visualizzare l'effetto di dispersione delle onde con Vg≠V)

Inoltre se le differenze delle pulsazioni e dei numeri d'onda sono molto piccole (cioè nel nostro caso se dw≈(w1-w2) e dk≈(k1-k2)) allora risulta:
Vg=dw/dk.
Tuttavia possiamo anche scrivere dw/dk=d(1/T)/d(1/L)=d(V/L)/d(1/L) (essendo w=2π/T, k=2π/L e V=L/T) da cui facendo uso delle regole di derivazione:
d(1/L)/dL=-1/L2   e   d(V/L)/dL=(1/L)dV/dL-V/L2
risulta infine
Vg=[(1/L)dV/dL-V/L2]/(-1/L2)=V-LdV/dL.

Come si vede da questa equazione Vg dipende da come varia V in funzione della lunghezza d'onda L (come in effetti accade nei mezzi dispersivi dove Vg≠V); se invece fosse V=w1/k1=w2/k2=costante allora dV/dL=0 e avremmo V=Vg senza dispersione.
Nota: si può anche ottenere più semplicemente la dipendenza di Vg dal numero d'onda k cioè Vg=dw/dk=dkV/dk=V+kdV/dk essendo w=kV.

In generale (per una dispersione normale) si ha Vg<V ma nei casi di dispersione anomala risulta Vg>V (anche quando V=c); tuttavia la velocità dell'informazione (cioè il segnale) che viene trasmessa dall'onda è sempre minore della velocità della luce in accordo con quanto previsto dalla teoria della relatività (proprio per evitare paradossi causali, vedi il post "Prima la causa e poi... l'effetto?").
Nota: la velocità con cui si propaga l'energia è proprio quella del pacchetto d'onde (esclusi i casi anomali superluminali) dato che all'esterno di esso non si hanno moti oscillatori.

(*) La velocità di fase non ha significato fisico ma solo analitico, poiché viene definita per treni d'onde di lunghezza infinita e di durata infinita: tali fenomeni ondulatori non sono riscontrabili in natura.
(**) Qualsiasi funzione così definita f(x,t)=f(x±Vt) (cioè con argomento S=x±Vt) rappresenta un'onda; ad esempio f(x,t)=(x±Vt)2 oppure f(x,t)=sin[k(x±Vt)]3 sono onde che si propagano lungo X e anche kS=k(x±Vt)=kx±wt con k=2π/L e kV=kL/T=w è un argomento valido.
(***) In generale una funzione periodica di pulsazione w=2π/T può sempre essere rappresentata (sotto opportune ipotesi) come una somma di funzioni sinusoidali di opportuna ampiezza e di pulsazione multipla di quella fondamentale (vedi il post "Onde, armoniche e... Fourier!").

8 commenti:

  1. Ti stai dando alla quanto meccanica??? Mi piacciono molto questi post, li leggo sempre con interesse!
    Grazie!

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  2. complimenti bella idea per il blog! in particolare per questo post mi serviva proprio

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  3. Grazie, sono contento possa esserti utile... :-)

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  4. Salve, scusi ma non vedo come A3 possa essere scritta con la forma canonica di un'onda, visto che la modulazione è funzione di (x,t).
    grazie

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    1. In effetti A3(x,t) è dato dalla somma di due onde e quindi è anch'esso un'onda (per il principio di sovrapposizione).

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