Velocità di Fase e di Gruppo!

Diamo subito le due definizioni di velocità di fase e di gruppo di un'onda:
"In fisica la velocità di fase è la velocità con cui si propaga la fase di un'onda, sia essa elettromagnetica o meccanica. La velocità di fase* può essere visualizzata come la velocità di propagazione di una cresta dell'onda ma non coincide necessariamente con la velocità di propagazione di un segnale che è invece descritta dalla velocità di gruppo" (vedi Wikipedia);
e
"La velocità di gruppo di un'onda è la velocità con cui si propagano nello spazio le variazioni nella forma dell'ampiezza dell'onda. Si tratta della velocità dell'inviluppo o modulante dell'onda" (vedi Wikipedia).

Ricordiamo, prima di chiarire le due definizioni, che in generale un'onda è definita formalmente come f(x,t)=f(x±Vt) (vedi il post "Ma cos'è una 'Onda'?") dove V è una costante (che definiremo di seguito) dell'onda che si propaga lungo l'asse X.

Se ad esempio consideriamo un'onda piana sinusoidale essa è rappresentata dalla seguente funzione**:

f(x,t)=Acos(kx±wt)

dove k=2π/L e w=2π/T (L e T sono la lunghezza e il periodo dell'onda) mentre A indica l'ampiezza dell'onda e l'argomento S=kx±wt viene definito come fase dell'onda periodica*** (dove il segno ± indica l'avanzamento lungo l'asse positivo o negativo dell'onda).

Nota: presi due istanti di tempo t₂>t₁ e date le ascisse x₂=Vt₂ e x₁=Vt₁ segue x₂>x₁ e x₁-Vt₁=x₂-Vt₂; quindi l'argomento (x-Vt) rappresenta un'onda che si sposta nella direzione positiva dell'asse X (viceversa per -V si ha (x+Vt)).

Ora se consideriamo un'onda ideale f(kx±wt), essa è per ipotesi non dispersiva (cioè mantiene la stessa forma durante la propagazione) e inoltre non dissipa energia. Ciò significa che dato un punto P dell'onda durante lo spostamento, questa ripresenta periodicamente lo stesso valore (cioè risulta f_p(kx±wt)=costante) ogni volta che la fase S risulta:

S=kx±wt=costante 

da cui segue derivando S rispetto al tempo (cioè dS/dt=kdx/dt±w=0):

V=dx/dt=±w/k

perciò V definisce la velocità di fase di un punto P qualsiasi dell'onda.

Per chiarire invece il concetto di velocità di gruppo vediamo un semplice esempio. Consideriamo due diverse onde periodiche, rispettivamente con velocità di fase V₁=w₁/k₁ e V₂=w₂/k₂ ma stessa ampiezza A₀, che si propagano lungo l'asse X:

A₁(x,t)=A₀cos(k₁x-w₁t)   e   A₂(x,t)=A₀cos(k₂x-w₂t).

Quindi per sovrapposizione, cioè facendo la loro somma algebrica (usando le formule di prostaferesi per la somma dei coseni) si ottiene una terza onda che chiameremo A₃(x,t):

A₃(x,t)=A₁(x,t)+A₂(x,t)=A(x,t)cos(kx-wt)

dove w=(w₁+w₂)/2, k=(k₁+k₂)/2 e dove in particolare risulta per l'ampiezza A(x,t) (definita modulante dell'onda):

A(x,t)=2A₀cos[(k₁-k₂)x-(w₁-w₂)t]/2.

Nota: per tutte le onde definite dalla generica funzione f(x,t)=f(x±Vt), che ricordiamo è una soluzione dell'equazione differenziale delle onde, vale il principio di sovrapposizione: date due o più soluzioni di questa equazione, anche la loro somma algebrica è una soluzione della stessa equazione.

Si noti che anche A₃(x,t) è formalmente un'onda, poiché ottenuta per sovrapposizione di due onde (si veda la nota sopra); in effetti l'ampiezza A(x,t) ha il solo effetto di modulare l'onda A₃(x,t) che ha pulsazione w e numero d'onda k.
Possiamo perciò derivare la velocità di fase dell'onda A₃(x,t), che come abbiamo visto sopra sarà data dal rapporto w/k:

V=w/k=(w₁+w₂)/(k₁+k₂).

Tuttavia si osservi che anche l'ampiezza A(x,t)=2A₀cos(kx-wt) si comporta come un'onda con pulsazione w=(w₁-w₂)/2 e numero d'onda k=(k₁-k₂)/2.

Quindi possiamo derivare (in modo analogo a quanto fatto sopra per V) la velocità con cui si muovono i piani di fase costante dell'ampiezza A(x,t) (ad esempio i massimi di A(x,t)); infatti posto:

S=kx-wt=costante

segue per derivazione di S (cioè dS/dt=kdx/dt-w=0):

V_g=dx/dt=(w₁-w₂)/(k₁-k₂)=∆w/∆k

che è la velocità di gruppo V_g della modulante A(x,t) dell'onda portante cos(wt-kx), essendo l'onda complessiva: A₃(x,t)=A(x,t)cos(wt-kx).

Si osservi che l'onda A₃(x,t) si dice dispersiva proprio perché non mantiene la stessa identica forma durante la propagazione (essendo V_g≠V) ma viene modulata dall'ampiezza A(x,t).

Nota: se per le due onde A₁ e A₂ avessimo V=w₁/k₁=w₂/k₂ risulterebbe V=V_g senza avere dispersione ma solo traslazione del segnale.
(Qui puoi visualizzare l'effetto di dispersione delle onde con V_g≠V)

Inoltre se le differenze delle pulsazioni e dei numeri d'onda sono molto piccole (cioè nel nostro caso se dw≈(w₁-w₂) e dk≈(k₁-k₂)) allora risulta:

V_g=dw/dk.

Tuttavia possiamo anche scrivere dw/dk=d(1/T)/d(1/L)=d(V/L)/d(1/L) (essendo w=2π/T, k=2π/L e V=L/T) da cui facendo uso delle regole di derivazione:

d(1/L)/dL=-1/L²   e   d(V/L)/dL=(1/L)dV/dL-V/L²

risulta infine

V_g=[(1/L)dV/dL-V/L²]/(-1/L²)=V-LdV/dL.

Come risulta da questa equazione V_g dipende da come varia V in funzione della lunghezza d'onda L (come in effetti accade nei mezzi dispersivi dove V_g≠V); se invece fosse V=w₁/k₁=w₂/k₂=costante allora dV/dL=0 e avremmo V=V_g senza dispersione.
Nota: si può anche ottenere più semplicemente la dipendenza di V_g dal numero d'onda k cioè V_g=dw/dk=dkV/dk=V+kdV/dk essendo w=kV.

In generale (per una dispersione normale) si ha V_g<V ma nei casi di dispersione anomala risulta V_g>V (anche quando V=c); tuttavia la velocità dell'informazione trasmessa dall'onda è sempre minore della velocità della luce in accordo con quanto previsto dalla teoria della relatività (evitando così paradossi causali, vedi il post "Prima la causa e poi... l'effetto?").

Nota: la velocità con cui si propaga l'energia è proprio quella del pacchetto d'onde in cui essa è confinata poiché all'esterno del pacchetto non si hanno moti oscillatori (esclusi i casi anomali superluminali in cui V_g>c).

(*) La velocità di fase non ha significato fisico ma solo analitico, poiché viene definita per treni d'onde di lunghezza infinita e di durata infinita: tali fenomeni ondulatori non sono riscontrabili in natura.
(**) Qualsiasi funzione così definita f(x,t)=f(x±Vt) (cioè con argomento S=x±Vt) rappresenta un'onda; ad esempio f(x,t)=(x±Vt)² oppure f(x,t)=sin[k(x±Vt)]³ sono onde che si propagano lungo X e anche kS=k(x±Vt)=kx±wt con k=2π/L e kV=kL/T=w è un argomento valido.
(***) In generale una funzione periodica di pulsazione w=2π/T può sempre essere rappresentata (sotto opportune ipotesi) come una somma di funzioni sinusoidali di opportuna ampiezza e di pulsazione multipla di quella fondamentale (vedi il post "Onde, armoniche e... Fourier!").