La Contrazione relativa delle Lunghezze

In questo post vogliamo mostrare come, nella Teoria della Relatività, sia centrale il concetto di dilatazione relativa del tempo (già trattato nel post "La Dilatazione relativa del Tempo") e come in particolare la contrazione relativa delle lunghezze sia una conseguenza di tale effetto.

Ricordiamo quindi la relazione precedentemente ricavata (vedi il post):

∆t'=∆t/(1-v²/c²)^1/2

dove l'intervallo di tempo ∆t' misurato da un riferimento in moto inerziale, appare maggiore rispetto all'intervallo temporale ∆t misurato in un riferimento che, per ipotesi, è in quiete rispetto al fenomeno osservato.
Nota: come vedremo per tale motivo ∆t è detto tempo proprio.

Si ricordi che l'intervallo ∆t misurato dall'orologio in quiete è denominato tempo proprio poiché per definizione: "il tempo proprio è il tempo misurato da un osservatore nel sistema di riferimento solidale con se stesso [cioè col suo orologio]" (vedi Wikipedia): in particolare il tempo proprio è il tempo misurato da un unico orologio nel punto esatto in cui si verifica il fenomeno fisico che stiamo misurando*.

Si noti inoltre che un orologio riproduce il medesimo intervallo di tempo se si trova in quiete o in moto inerziale poiché, come assume la teoria della relatività, le leggi fisiche sono le stesse in entrambi i riferimenti: quindi l'effetto di dilatazione del tempo è relativo al moto dell'osservatore.
Nota: l'effetto diventa verificabile solo quando due orologi in moto vengono posti a confronto, come accade nel noto paradosso dei gemelli (vedi il post).

Fatte queste fondamentali premesse introduciamo un righello posto lungo l'asse X, che si suppone essere rigido**, la cui lunghezza rispetto ad un osservatore in quiete è ∆l; vogliamo ora determinare la sua lunghezza ∆l', misurata da un osservatore in moto parallelo all'asse X con velocità v.
Nota: a priori non possiamo affermare che risulti ∆l=∆l'.

Si noti innanzitutto che l'osservatore in quiete S col righello, può misurare il passaggio dell'osservatore in moto S' dai due estremi A e B della sua riga, con due diversi orologi*** (posti rispettivamente in A e in B): quindi egli misura un intervallo di tempo non proprio pari a ∆t'=∆l/v.
Nota: anche per misurare la velocità v di S' si possono porre due orologi sincronizzati lungo X, ad esempio in A e B, ricavando: v=∆t'/∆l.

Viceversa l'osservatore in moto S' misura, nello stesso luogo e con un unico orologio, il tempo del passaggio dagli estremi A e B del righello (ad esempio col suo orologio da polso) e quindi misura un tempo proprio ∆t=∆l'/v.

Nota: risulta perciò evidente come la situazione tra i due sistemi di riferimento S (in quiete) e S' (in moto) non sia affatto simmetrica.

Utilizzando la relazione precedente ∆t'=∆t/(1-v²/c²)^1/2 si ottiene, sostituendo i valori rispettivamente di ∆t'=∆l/v e ∆t=∆l'/v prima definiti:

∆l/v=(∆l'/v)/(1-v²/c²)^1/2

da cui risulta immeditamente che

∆l'=∆l(1-v²/c²)^1/2

cioè la lunghezza ∆l' misurata dall'osservatore in moto appare minore di un fattore (1-v²/c²)^1/2 rispetto alla lunghezza ∆l misurata in quiete.

Si osservi infine che (come abbiamo implicitamente assunto nel post "La Dilatazione relativa del tempo") la misura delle lunghezze perpendicolari al moto non è soggetta a contrazioni: infatti un osservatore posto al centro tra due eventi, li percepisce simultanei anche se lo stesso osservatore si muove perpendicolarmente all'asse X che li unisce (ad esempio lungo Y o Z).
Nota: in pratica ciò significa che lungo gli assi Y e Z di un riferimento non si osservano variazioni nelle misure delle lunghezze (se X è l'asse del moto).

Come avevamo anticipato il significato fisico della contrazione relativa delle lunghezze è strettamente legato alla dilatazione relativa del tempo; in questo senso possiamo affermare che il concetto di tempo (in particolare quello di simultaneità degli eventi) è centrale nella teoria della relatività di Einstein.

(*) In effetti a seconda che il fenomeno temporale osservato possa (oppure no) essere misurato da un unico orologio, possiamo considerare il sistema di riferimento in quiete (oppure no) rispetto al fenomeno osservato.
(**) Con corpo rigido qui intendiamo un corpo che, relativamente al sistema in quiete, non è soggetto a deformazioni; come vedremo la contrazione vista dall'osservatore in moto è solo un effetto relativistico, non dovuto a forze reali che agiscono sul corpo.
(***) Abbiamo supposto che nella misura dell'intervallo di tempo misurato con due orologi (tempo non proprio) questi sono sincronizzati: in generale dati due orologi posti in A e B (nello stesso sistema di riferimento) possiamo porre una sorgente di luce nel punto di mezzo e porre t=0 per entrambi gli orologi nell'istante in cui arriva il segnale luminoso. 
(Si ricordi che il postulato di relatività assume, per definire la simultaneità, che la velocità della luce sia la stessa in tutte le direzioni e per tutti gli osservatori inerziali).