Una Coppia di Forze

Nel post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)" abbiamo definito il momento meccanico di una forza, rispetto ad un punto fissato, come il prodotto vettoriale tra il vettore di posizione e la forza stessa: 

M=rxF 

dove r indica il vettore di posizione della forza F rispetto ad un punto O fissato.

Inoltre abbiamo stabilito per definizione che "la direzione di M è perpendicolare al piano definito da F e da r; il verso, come garantito dalla regola della mano destra, è quello di un osservatore che vede ruotare F in senso antiorario" (vedi Wikipedia).
Nota: l'effetto del momento è proprio quello di produrre una rotazione intorno ad un punto di riferimento o asse (come l'apertura di una porta).

Perciò il modulo del momento, dato dal prodotto vettoriale rxF, è così definito:

M=rFsinθ

dove θ è l'angolo tra r e F come mostrato in figura:

Se si osserva che la distanza b (cioè la perpendicolare, tracciata dal punto O, alla linea di azione della forza F) è data da b=rsinθ possiamo riscrivere il modulo del momento meccanico:

M=Fb

quindi il modulo del momento di una forza è dato dal prodotto della forza per il suo braccio b.

Ma vediamo cosa accade per due forze F₁ e F₂. In questo caso il momento totale, calcolato rispetto ad uno stesso punto O, è dato dalla somma vettoriale:

M=r₁xF₁+r₂xF₂

dove r₁ e r₂ sono i vettori di posizione delle rispettive forze (rispetto ad O)*.

Se ora supponiamo che le due forze abbiano lo stesso modulo (cioè F₁=F₂=F), stessa direzione ma versi opposti (cioè sono parallele e giaciono sullo stesso piano), allora il modulo M è:

M=F₁b₁-F₂b₂=F(b₁-b₂)=Fb 

dove il segno meno è dovuto ai versi opposti dei momenti e dove b corrisponde alla distanza fra le linee di azione delle due forze (poiché b₁ e b₂ giaciono sulla retta perpendicolare alle due forze) ed è quindi indipendente dal punto O di riferimento.
Nota: se invece il punto di riferimento O fosse posto tra le due forze avremmo per la distanza b=b₁+b₂ (avendo i momenti ugual verso).

Questo particolare sistema costituisce una coppia di forze ed è evidente che solo nel caso in cui b=0 (cioè quando le forze agiscono sulla stessa retta d'azione) il momento della coppia risulta nullo.

Per chiarire il significato fisico del momento meccanico si osservi che in generale (come mostrato nel post "L'equazione del Razzo!") per un sistema di N particelle di massa totale M l'accelerazione del centro di massa  a_cm è dovuta alla risultante delle forze esterne che agisce sul centro di massa:

F^ext=Ma_cm=F₁+F₂+...+F_N.

Quindi nel caso risulti  F^ext=0 l'accelerazione del centro di massa è nulla, ma ciò non implica necessariamente che risulti anche M^ext=0 (e quindi che la variazione del momento angolare L sia nulla essendo M^ext=dL/dt).

Ad esempio nel caso di due sole forze se risulta F^ext=F₁+F₂=0 ciò non implica necessariamente che risulti:

M^ext=F₁b₁-F₂b₂=F(b₁-b₂)=0 

poiché F₁ e F₂ potrebbero non trovarsi sulla stessa retta di azione (cioè b≠0).
Nota: ricordiamo anche che in generale se F^ext=0 allora M^ext è indipendente dalla scelta del punto di riferimento O (vedi il post "Cos'è il Vettore di Posizione?").

Tutto ciò spiega perché se dalla conservazione della quantità di moto F^ext=dP/dt=0 si ottiene, per una coppia di forze, la relazione F₁=-F₂ (in modo che la risultante sia nulla) allora per garantire che le forze siano sulla stessa retta di azione (cioè b=0), è necessaria anche la conservazione del momento angolare L cioè M^ext=dL/dt=0 (vedi il post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)").

È perciò vero che se consideriamo le forze interne F^int che agiscono tra due corpi F₁₂ e F₂₁ allora dalla conservazione della quantità di moto F^int=dP/dt=0 e da quella del momento angolare M^int=dL/dt=0 possiamo dedurre il principio di azione e reazione per due corpi interagenti, risultando F₁₂=-F₂₁ (con la stessa retta d'azione).

(*) È noto che la condizione di equilibrio per la rotazione è, nel caso di due forze (opposte e parallele): M=F₁b₁-F₂b₂=0 (vedi "Sistemi in Equilibrio (meccanico)"); da cui si ricava subito la relazione F₁/F₂=b₂/b₁ che è quella tipica di una leva meccanica e cioè "una macchina semplice che trasforma l'energia, ed è un'applicazione del principio di equilibrio dei momenti" (vedi Wikipedia).