Il Teorema del Viriale

Prima di darne il relativo significato fisico, partiamo dalla dimostrazione del teorema in oggetto: il Teorema del Viriale.

Anticipiamo solo che fu Rudolf Clausius a sviluppare per primo il teorema per cercare di trattare i gas reali per i quali, a differenza dei gas ideali, è necessario tenere conto dell'interazione tra le molecole e quindi dell'energia potenziale che contribuisce all'energia interna del sistema.
Nota: per approfondire questo tema vedi il post "L'espansione adiabatica di Joule".

Consideriamo quindi un sistema di particelle puntiformi di massa m_i ognuna delle quali individuata dal vettore di posizione r_i (rispetto ad un sistema di riferimento inerziale) e soggetta ad una forza F_i=dp_i/dt dove p_i=m_iv_i è la quantità di moto di ogni singola particella.

A questo punto introduciamo una quantità scalare G che porterà ad un risultato notevole:

G=∑_ip_ir_i

dove la sommatoria comprende tutte le particelle del sistema.

Se ora deriviamo G rispetto al tempo si ottiene la relazione:

dG/dt=∑_ip_i(dr_i/dt)+∑_ir_i(dp_i/dt)

dove il primo termine del secondo membro risulta (essendo v_i=dr_i/dt la velocità della i-esima particella):

∑_ip_i(dr_i/dt)=∑_im_iv_iv_i=2E_c

essendo E_c=(1/2)∑_im_iv_i² l'energia cinetica totale del sistema di particelle;
mentre il secondo termine diventa (essendo F_i=dp_i/dt):

∑_ir_i(dp_i/dt)=∑_ir_iF_i.

In definitiva si ha che la variazione di G rispetto al tempo è data dalla relazione

dG/dt=2E_c+∑_ir_iF_i.

Questa relazione può essere integrata rispetto a t nell'intervallo di tempo ∆t=T e quindi, dividendo l'integrale ottenuto per T, otteniamo al primo membro la media temporale (indicata con le parentesi < , >) della variazione di G:

<dG/dt>=[G(T)-G(0)]/T.

Inoltre se consideriamo le medie temporali anche al secondo membro segue:

[G(T)-G(0)]/T=<2E_c>+<∑_ir_iF_i>.

Da ciò risulta evidente che in generale, per intervalli di tempo molto grandi (cioè per T-->∞) e se G=∑_ip_ir_i non cresce indefinitamente col tempo (cioè se le coordinate r_i e le velocità v_i rimangono finite), la quantità al primo membro diventa praticamente nulla* da cui segue perciò:

 <E_c>=-(1/2)<∑_ir_iF_i>

dove <E_c> è la media temporale dell'energia cinetica di tutte le particelle.
Nota: in generale si può scomporre la sommatoria ∑_ir_iF_i separando le forze esterne da quelle interne: ∑_ir_iF_i=∑_ir_iF_i^ext+∑_ijr_ijF_ij^int dove il pedice ij si riferisce ad ogni coppia di particelle (con i≠j) e r_ij è la distanza tra esse.

In particolare se tutte le forze F_i si possono derivare da un potenziale scalare U_i(r) e quindi F_i=gradU_i(r) (vedi il post "Campo conservativo=>irrotazionale!") avremo in definitiva:

<E_c>=-(1/2)<∑_ir_igradU_i(r)>.

dove U_i(r) rappresenta l'energia potenziale della i-esima particella.
Nota: se F_i=gradU_i(r) allora risulta dU_i(r)=F_ids che è un differenziale esatto e quindi integrandolo si ottiene l'energia potenziale U_i(r) (vedi il relativo post).

Ora se per ogni coppia (i,j) di particelle agiscono per ipotesi solo le forze interne tra le particelle (cioè se ∑_ir_iF_i^ext=0) e se supponiamo che l'energia potenziale sia del tipo U_ij(r)=-k_ij/r_ijⁿ (dove k_ij è una costante dimensionale per ogni coppia di particelle (i,j)) segue dopo qualche calcolo (risultando r_ijgradU_ij(r)=nU_ij(r))**:

<E_c>=-(1/2)n<U(r)>

dove <U(r)> è la media temporale dell'energia potenziale di tutte le coppie di particelle; in particolare si ha n=1 e k_ij=Gm_im_j nel caso dell'energia potenziale gravitazionale***.

Nota: la distanza r_ij tra due particelle indicate rispettivamente con r_i ed r_j, è data da r_ij=r_i-r_j (vettore diretto verso i); perciò r_ij e F_ij=gradU_ij(r) (forza diretta verso j) hanno versi opposti e quindi r_ijF_ij=-r_ijgradU_ij(r).

Possiamo infine enunciare come promesso il Teorema del Viriale:
"In meccanica classica, il teorema del viriale è una proposizione formale che lega la media temporale dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un sistema stabile di N particelle, che ha importanti risvolti in diverse branche della fisica. La prima formulazione del teorema è dovuta a Rudolf Clausius, nel 1870. Il nome viriale deriva dal latino vis che significa forza o energia" (vedi Wikipedia).

(*) Se il moto è periodico (cioè se le sue coordinate assumono ad ogni periodo T fissato gli stessi valori) avremo G(T)=G(0) e quindi G(T)-G(0)=0.
(**) Come abbiamo mostrato nel post "Il Principio di Azione<=>Reazione!" per le forze interne tra particelle vale la relazione F_ij=-F_ji quindi per ogni coppia di particelle avremo (essendo r_ij opposto a F_ij): 
r_iF_ij+r_jF_ji=(r_i-r_j)F_ij=r_ijF_ij=-r_ijgradU_ij(r)=nU_ij(r) essendo per ipotesi l'energia potenziale U_ij(r)=-k_ij/r_ijⁿ e quindi F_ij=gradU_ij(r)=nk_ij/r_ijⁿ⁺¹=-nU_ij(r)/r_ij.
(***) Consideriamo ad esempio il caso di una particella di massa m che si muove, per attrazione gravitazionale, attorno ad una massa M di moto circolare costante di raggio r (con M>>m in modo da poter considerare la massa M in quiete inerziale). Avremo allora che l'energia cinetica del sistema è data da E_c=(1/2)mv² mentre l'energia potenziale è U(r)=-k/r dove k=GMm (e quindi F_g=dU(r)/dr=k/r²).
Ora poiché la forza centripeta (dovuta all'accelerazione del moto circolare) è pari a F_c=mv²/r dovrà risultare F_c=F_g (affinché il corpo mantenga costante il suo moto circolare di raggio r); da cui infine si ottiene mv²=k/r e quindi -U(r)=mv²=2E_c come previsto dal teorema del viriale.