Potenza e Coppia in... bicicletta!

Diamo innanzitutto la definizione di Potenza in fisica (vedi Wikipedia):
"La potenza è definita come il lavoro L compiuto nell'unità di tempo t, ovvero come la sua derivata temporale:

P=dL/dt.

In base al principio di uguaglianza tra lavoro ed energia, la potenza misura la quantità di energia scambiata nell'unità di tempo, in un qualunque processo di trasformazione, meccanico, elettrico, termico o chimico che sia".
Nota: per la relazione tra lavoro ed energia vedi il post "E se le forze non sono conservative?".

Se ricordiamo che per definizione il lavoro infinitesimo è dL=Fds dove F è la forza applicata ad un corpo che si sposta lungo un tratto infinitesimo ds (vedi il post "E se le forze non sono conservative?") allora avremo la seguente relazione:

P=Fds/dt=Fv

dove v=ds/dt è la velocità istantanea del corpo in moto.

Ora passiamo alla definizione di coppia motrice (vedi Wikipedia):
"La coppia motrice è il momento meccanico applicato dal motore a una trasmissione. Essa varia al cambiare del regime di rotazione del motore con un andamento dipendente dal tipo di motore e ha un valore massimo in corrispondenza di un determinato regime".
Nota: ricordiamo che il momento meccanico è definito come M=rxF dove r è il vettore di posizione della forza F rispetto ad un punto Ω fissato (vedi il post "Sistemi in equilibrio (meccanico)".

Quindi se ad esempio applichiamo una forza motrice orizzontale F in corrispondenza del perno di una ruota posta in verticale sopra un piano (ad esempio quella di una bicicletta di raggio r) si avrà un momento meccanico:

M=rxF

rispetto al punto di contatto col terreno (inoltre risulta M=rF essendo forza F e braccio r perpendicolari) e la ruota girerà (grazie all'attrito che le impedisce di scivolare)* con una velocità angolare:

w=2π/T 

(dove T è il periodo di rotazione) mentre la bicicletta si sposterà con una velocità:

v=wxr

essendo T=2πr/v (in particolare v=wr poiché w è perpendicolare a r).

Nota: la velocità dipende anche da altri elementi, che abbiamo trascurato, come la forza di attrito dell'aria (dovuta al veicolo+ciclista), l'attrito di rotolamento delle ruote, la pendenza della strada, etc.

Calcoliamo allora la potenza alla ruota quando il veicolo è in moto** (ricordando che F e v hanno la stessa direzione):

P=Fv=(M/r)(wr)=Mw

perciò la potenza, nel caso generale di un veicolo su ruote, dipende dal momento meccanico M (cioè dalla coppia motrice) e dalla velocità angolare w della ruota.
Nota: poiché per ipotesi la ruota gira senza strisciare, il punto di contatto col terreno esercita un attrito statico (cioè senza spostamento) e quindi la forza di attrito non compie lavoro.

Da questa equazione risulta evidente come, a parità di potenza, si possa aumentare la coppia M (che esprime la forza motrice F=M/r) diminuendo però la velocità angolare w (e quindi la velocità di spostamento v=wr).

Inoltre grazie al cambio delle marce, che modifica il rapporto di trasmissione, è possibile variare la velocità angolare w della ruota motrice mantenendo inalterata quella del motore (o dei pedali del ciclista) in modo da rendere costante il suo rendimento*** (vedi la tabella di Wikipedia). 
Nota: i motori elettrici, che hanno un rendimento praticamente costante, non hanno bisogno di marce.

(*) In effetti dobbiamo considerare una coppia di forze uguali e contrarie: una si esercita sul perno della ruota mentre l'altra, grazie all'attrito, si esercita sul punto di contatto della ruota col terreno (altrimenti la ruota scivolerebbe); il risultato complessivo del momento è di nuovo M=rF essendo r il braccio della coppia (vedi il post "Una coppia di Forze").
(**) Se trascuriamo le perdite dovute alla trasmissione meccanica, allora la potenza espressa alla ruota è la stessa di quella prodotta dalla forza motrice del motore (o dai muscoli del ciclista).
(***) Quasi tutti i motori (esclusi quelli elettrici) esprimono una coppia massima, e quindi una potenza massima, in funzione di una determinata velocità angolare.