Onde, armoniche e... Fourier!

Abbiamo già trattato la definizione formale della funzione periodica di un'onda nel post "Ma cos'è una 'Onda?'" (a cui rimandiamo); qui vogliamo invece approfondire un aspetto importante dei moti oscillatori che riguarda le cosiddette frequenze armoniche così definite:
"Nello studio dei fenomeni oscillatori, le frequenze armoniche sono le frequenze il cui valore è multiplo intero della frequenza base (frequenza fondamentale) di un'onda" (vedi Wikipedia).

Questa semplice definizione riguarda un aspetto fondamentale delle funzioni periodiche che trae origine dall'analisi di Fourier: "Una branca di ricerca che prende il suo stimolo dalle ricerche di Jean Baptiste Joseph Fourier, che nei primi anni dell'ottocento, riuscì a dimostrare che una qualunque funzione periodica poteva essere vista come una somma di infinite 'opportune' funzioni sinusoidali (seno e coseno)" (vedi Wikipedia).

Infatti, sotto alcune ipotesi non troppo restrittive (vedi oltre), esiste una serie convergente (detta appunto di Fourier), grazie alla quale possiamo esprimere una funzione periodica f(t) (con periodo 2π) nel modo seguente:

f(t)=(1/2)a₀+a₁cos(wt)+...+a_ncos(nwt)+b₁sin(wt)+...+b_nsin(nwt)

dove a_n e b_n sono opportuni coefficienti (con n=0, 1, 2, ...), w=2π/T è la pulsazione dell'onda base e i termini n/T definiscono le frequenze armoniche prima introdotte (per n=1 si ha la frequenza fondamentale 1/T).

Nota: una funzione f(t) è periodica (di periodo T) se risulta f(t)=f(t+T) ed è sempre possibile associarle una nuova funzione g(t)=f(tT/2π) di periodo 2π.

Senza dare una dimostrazione della serie di Fourier (per questo vedi il post su Vialattea.net), diciamo solo che la relazione è vera se f(t) non solo è periodica ma è anche continua (almeno a tratti) nell'intervallo [-π, π]; mentre i coefficienti a_n e b_n sono così definiti*:

a_n=(1/π)∫_-π^πf(t)cos(nwt)dt   e   b_n=(1/π)∫_-π^πf(t)sin(nwt)dt.

Nota: per vedere come vengono calcolati i coefficienti si veda ad esempio lo sviluppo in serie della funzione a dente di sega (vedi Wikipedia).
(Vedi anche le ottime lezioni di Marco Codegone sulla serie di Fourier)

Per chiarire il significato fisico alla serie di Fourier, supponiamo che le onde armoniche in essa contenute siano onde di tipo acustico e quindi che la nostra funzione f(t) rappresenti un particolare suono, come ad esempio quello emesso da uno strumento musicale.

Questo suono sarà costituito dalla nota di frequenza fondamentale 1/T sommata a quelle di tutte le armoniche di frequenza n/T che però sono di minore intensità (affinché la serie converga); ad esempio, se la frequenza base è quella della nota la corista (cioè quella del diapason fissata per definizione a 440Hz), le varie armoniche sovrapposte ad essa definiscono il timbro della nota, che caratterizza lo strumento da cui è stata emessa.
Nota: fatta eccezione per il diapason (a mono frequenza) ogni strumento musicale emette, oltre a quella fondamentale, le sue proprie armoniche.

Sorprendentemente il nostro cervello riconosce le varie armoniche contenute in un qualsiasi suono f(t) come se effettuasse l'analisi di Fourier dell'onda, la quale viene percepita dal nostro orecchio interno**; in questo modo possiamo riconoscere non solo la nota fondamentale di un dato suono ma anche le sue armoniche che definiscono il timbro della nota emessa.

È sulla base di questa capacità di analisi del nostro cervello e del suo gradimento per la consonanza tra due o più note (cioè la coincidenza degli armonici e l'assenza di battimenti) che è stata costruita la scala naturale delle sette note musicali; una volta scelta una nota di riferimento (che chiameremo do) le altre note sono le armoniche di quella base: il sol ad esempio è la terza armonica del do, il mi la quinta, il re la nona e così via fino a formare la scala di do maggiore (per trasposizioni di ottava)***.

Nota: per un approfondimento su questi argomenti vedi l'articolo di Andrea Frova "Interazioni Forti: Musica e Scienza".

(*) Per ottenere i coefficienti a_n e b_n basta moltiplicare f(t) (di cui supponiamo esista la serie sopra definita) per cos(nwt) oppure per sin(nwt) e quindi integrarla tra π e -π; una volta integrati i prodotti dei vari seni e coseni, i termini si annullano tutti, tranne quello al quadrato relativo al coefficiente n-esimo considerato (la cui integrazione è pari a π).
(**) È la membrana basilare, contenuta nell'orecchio interno, che si mette a vibrare in funzione delle varie frequenze armoniche che costituiscono il suono percepito; queste vibrazioni (spazialmente separate sulla membrana, in relazione alla frequenza) vengono trasmesse al cervello attraverso distinti segnali elettrici, corrispondenti alle varie zone della membrana.
(*** ) Se la nota do ha frequenza 1 allora la seconda armonica avrà frequenza 2 (è il do dell'ottava superiore) mentre la terza armonica avrà frequenza 3 che (per ricondurla alla prima ottava) dobbiamo dividere per 2 ottenendo la frequenza 3/2 che chiameremo sol etc.; si ottiene così tutta la scala naturale.

(Si ricordi che raddoppiando la frequenza si ottiene sempre la stessa nota, ma di un'ottava più alta.)

[Trasformata di Fourier: quando la funzione f(t) non è periodica si può estendere la serie facendo il limite di T -> ∞ e quindi w=2π/T si trasforma in dw e si integra tra tutte le frequenze che costituiscono il segnale ottenendo quella che viene chiamata la trasformata di Fourier]