Più veloce della luce!

Nella letteratura scientifica sono state introdotte da tempo, ma solo teoricamente, particolari particelle denominate tachioni.
Secondo Wikipedia: "Il tachione (dal greco ταχύς tachýs, "veloce") è una particella che viaggia ad una velocità superiore a quella della luce. La prima descrizione teorica dei tachioni è attribuita al fisico Arnold Sommerfeld".

Tale definizione però, e in particolare il superamento della velocità della luce nel vuoto, pone dei seri problemi alla teoria della Relatività Ristretta di Albert Einstein*.
Come descritto da Wikipedia "secondo Einstein, la massa totale di una particella rispetto ad un dato sistema di riferimento è la somma della sua massa a riposo e dell'incremento di massa dovuto all'energia cinetica**; se m₀ indica la massa a riposo, allora l'energia totale è data dalla relazione: 

E=m₀c²/(1-v²/c²)^1/2".

Nota: questa relazione è stata derivata nel post "Derivare la Massa Relativistica".

Risulta perciò evidente che, per valori di v>c, il valore al denominatore della precedente equazione diventa immaginario (poiché il numero sotto radice diventa negativo); possiamo però eliderlo ammettendo che anche il valore della massa dei tachioni sia espresso da un numero immaginario (in questo modo l'energia E resta un numero reale).

Ne consegue allora che avremmo tre categorie diverse di particelle (definite rispettivamente da v<c, v>c e v=0):
a) particelle comuni o bradioni con massa reale e velocità inferiori a c;
b) i presunti tachioni con massa immaginaria e velocità superiori a c;
c) le particelle con massa nulla come i fotoni dove risulta v=c.
Nota: si può dimostrare che per particelle con massa nulla deve risultare v=c (vedi il post "Massa a riposo "nulla"!).

In pratica ciò significa che "allo stesso modo in cui per i bradioni è impossibile superare la barriera della velocità della luce, lo stesso vale per i tachioni, che non possono avere velocità inferiori a quella della luce" non potendo certo passare improvvisamente da una massa reale ad una immaginaria e viceversa*** (vedi Wikipedia).

Tuttavia "è difficile interpretare il significato fisico di una massa di valore complesso. Un effetto curioso è che, a differenza delle particelle ordinarie, l'energia di un tachione diminuisce all'aumentare della sua velocità" come si può facilmente dedurre dall'equazione precedente per valori di v>c.

Nonostante queste ed altre contraddizioni della teoria relativistica, come per esempio l'impossibilità di distinguere tra passato e futuro nelle relazioni causali (che per i tachioni dipenderebbero dal sistema di riferimento, come descritto nel post "Prima la causa e poi... l'effetto?"), ciò non ha impedito ai fisici di fare alcune speculazioni teoriche sulle velocità superluminali (vedi Wikipedia).

Ricordiamo ad esempio che "il 23 settembre 2011 l'esperimento OPERA, presso i Laboratori nazionali del Gran Sasso, ha misurato la velocità dei neutrini che avrebbero percorso la distanza di 730Km tra l'acceleratore di particelle del CERN e il laboratorio del Gran Sasso con 60ns di anticipo rispetto alla velocità della luce", riaprendo a livello internazionale il dibattito teorico sull'esistenza dei tachioni.

In realtà i dati registrati a settembre dal rivelatore OPERA, che mettevano in discussione la teoria della relatività di Einstein, sono stati provocati (come è stato poi verificato dallo stesso gruppo di ricercatori), da un'anomalia nel funzionamento degli apparati per la misurazione (vedi Wikipedia).

È ovvio che se l'esperimento fosse stato confermato, il significato fisico della scoperta di particelle strane come i tachioni, avrebbe dovuto essere attentamente ridiscusso e analizzato alla luce delle loro particolari proprietà fisiche.

(*) Tuttavia "secondo la teoria della relatività generale, è possibile costruire modelli dello spazio-tempo in cui alcune particelle viaggiano più veloci della luce relativamente ad un osservatore distante" anche se, localmente, non superano la velocità della luce (vedi Wikipedia).
(**) Secondo la teoria della relatività l'energia totale E=mc² di una particella in moto di massa m è data da E=m₀c²+E_c (dove m₀ è la massa a riposo ed E_c l'energia cinetica) da cui segue che m=m₀+E_c/c² perciò l'incremento di massa di una particella è dovuto all'energia cinetica.
(***) Si osservi però che "a livello teorico sarebbe possibile modificare istantaneamente la velocità attraverso un processo controllato di annichilazione e successiva ri-creazione di un oggetto ad una differente velocità" (vedi Wikipedia).

Il Principio di Conservazione dell'energia

Per prima cosa vediamo cosa si intende, in generale, con Principio di Conservazione:
"In fisica, una legge di conservazione o principio di conservazione descrive la conservazione nel tempo di una grandezza fisica in un sistema fisico isolato" (vedi Wikipedia).
Nota: un sistema si definisce isolato quando non scambia con l'ambiente esterno né massa, né calore, né lavoro o qualsiasi altra forma di energia.

Perciò, requisito fondamentale per parlare di conservazione di una qualsiasi grandezza fisica, è proprio quello di trovarsi in un sistema fisico isolato.

Si osservi inoltre che "il termine principio indica le basi e i presupposti iniziali su cui si basa o poggia una teoria; da esso poi discendono tutta una serie di leggi secondarie che caratterizzano la teoria in questione" (vedi Wikipedia).

In particolare dal principio generale di conservazione discende "la legge di conservazione dell'energia che è la più importante delle leggi di conservazione note in fisica. Nella sua forma più intuitiva questa legge afferma che, sebbene possa essere trasformata e convertita da una forma all'altra, la quantità totale di energia di un sistema isolato è costante, ovvero il suo valore si mantiene immutato al passare del tempo" (vedi Wikipedia).
Nota: per la formalizzazione della conservazione dell'energia meccanica si veda il post "E se le forze non sono conservative?".

In particolare il significato fisico della conservazione dell'energia è stato molto ben espresso dal grande fisico Richard Feynman:
"C’è un fatto, o se volete una legge, che governa i fenomeni naturali sinora noti. Non ci sono eccezioni a questa legge, per quanto ne sappiamo è esatta. La legge si chiama conservazione dell’energia ed è veramente un'idea molto astratta, perché è un principio matematico: dice che c’è una grandezza numerica che non cambia qualsiasi cosa accada. Non descrive un meccanismo o qualcosa di concreto. È solo un fatto un po’ strano: possiamo calcolare un certo numero, e quando finiamo di osservare la natura che esegue i suoi giochi, e ricalcoliamo quel numero, troviamo che non è cambiato" (tratto da "La fisica di Feynman" Vol.I).

L'equazione di... continuità!

Vogliamo mostrare come a volte, per attribuire un definito significato fisico ad una data equazione differenziale, è più utile esprimerla in forma integrale.

A titolo di esempio introduciamo l'equazione di continuità, così come viene definita da Wikipedia:
"In fisica, l'equazione di continuità è un'equazione differenziale che esprime in forma locale la legge di conservazione per una generica grandezza fisica utilizzando il flusso della grandezza attraverso una superficie chiusa".

Nota: l'equazione di continuità riguarda sempre la conservazione di qualche grandezza fisica definita attraverso il suo flusso.

Specifichiamo quindi cosa si intende con flusso di una grandezza:
"In fisica il flusso di una data grandezza fisica è usato in presenza di fenomeni di trasporto (le grandezze coinvolte possono essere per esempio il calore o la massa) e rappresenta la quantità della grandezza che attraversa nell'unità di tempo una data superficie (perpendicolare rispetto alla direzione in cui avviene il trasporto della grandezza) diviso l'area della superficie considerata" (vedi Wikipedia).

Formalizziamo perciò il concetto di flusso: dato un campo vettoriale J ed una superficie infinitesima da orientata* il flusso infintesimo di J attraverso da è definito come il prodotto scalare dØ=Jda; quindi il flusso totale Ø è dato dall'integrale di dØ su tutta la superficie considerata.

Prendiamo ad esempio (vedi Wikipedia) "la legge di conservazione della carica elettrica; in forma differenziale è definita dall'equazione di continuità:

dove J=ρv è la densità di corrente elettrica, ρ la densità di carica e v la velocità di deriva"; in questo esempio il flusso infinitesimo della densità di corrente elettrica è definito da di=Jda.
Nota: la velocità di deriva v è la velocità del moto ordinato delle cariche che costituiscono la corrente (perciò non corrisponde alla velocità media degli elettroni dovuta all'agitazione termica) (vedi Wikipedia). 

Si osservi come, in forma integrale, il significato fisico di questa equazione diventa subito chiaro; infatti integrando l'equazione precedente rispetto al volume e facendo uso del teorema della divergenza si ottiene:

 

dove V è il volume racchiuso da S ed i è per definizione la corrente elettrica e rappresenta il flusso della densità di corrente (essendo di=Jda)**.

Nota: il segno meno indica che la densità di carica diminuisce mentre la corrente fuoriesce dalla superficie S (poiché la superficie è chiusa J si orienta per convenzione verso l'esterno).

Da questa espressione integrale risulta perciò evidente come "il flusso i della densità di corrente J attraverso una qualunque superficie chiusa S sia pari alla variazione nel tempo della carica contenuta nel volume racchiuso da S"***.

Questa fondamentale equazione, in forma differenziale (locale) oppure integrale (globale), costituisce la ben nota legge di conservazione della carica elettrica.

(*) Se indichiamo con n la normale orientata esternamente alla superficie chiusa considerata, possiamo definire la superficie infinitesima orientata: da=nda.
(**) Si osservi che, essendo per definizione di=Jda, allora i rappresenta il flusso della densità di corrente J (vedi sopra la definizione del flusso).
(***) Se poniamo dQ=ρdV (dove dQ è la quantità di carica infinitesima nel volume dV) possiamo riscrivere l'equazione di continuità: i=-∂Q/∂t (a conferma che la corrente elettrica i è dovuta alla variazione di carica Q).

Quando le Particelle sono... "elementari"?

Quando una particella di materia si può definire elementare?
Ecco la definizione che dà Wikipedia:
"In fisica, in particolare nella fisica delle particelle, una particella elementare è il costituente elementare della materia, un oggetto indivisibile, che non è composto da particelle più semplici".

La definizione è apparentemente semplice, tuttavia (come già discusso nel post "Il dualismo onda-particella") si deve innanzitutto notare che "il termine particella, pur essendo entrato nell'uso comune, non è del tutto adeguato, in quanto la meccanica quantistica ha eliminato la distinzione tra particelle e onde che aveva caratterizzato la fisica del XIX secolo".

Inoltre si osservi che per verificare se una particella è composta da particelle più semplici dobbiamo sottoporla ad esperimenti di scattering (cioè diffusione ottica) ad alta energia; dunque la costituzione di una particella emerge in funzione della quantità di energia impiegata nella collisione, necessaria proprio per sondare la sua struttura.

D'altra parte nella collisione tra particelle potrebbero prodursi altre particelle, che non sono necessariamente più piccole di quelle originarie, ma che sono dovute alla trasformazione in massa (grazie alla nota equazione di Einstein E=mc²) dell'energia cinetica delle particelle incidenti e che perciò non fanno parte della struttura interna della particella.

È stato tuttavia possibile, nelle esperienze di diffusione ad alta energia (ad esempio elettroni che incidono contro protoni e neutroni), mostrare sperimentalmente la struttura interna delle particelle (i ben noti quark) attraverso lo studio accurato della sezione d'urto evidenziata nella collisione*.

In effetti in fisica esiste una teoria, denominata Modello Standard, che descrive e prevede tutte le particelle elementari fino ad oggi scoperte, compreso il famigerato bosone di Higgs, che è stato prima previsto e poi sperimentalmente scoperto** e che sarebbe responsabile della massa inerziale delle particelle.

Tuttavia, a dimostrazione del fatto che la scoperta di nuove particelle elementari non è ancora conclusa, al laboratorio americano del Fermilab "il 4 aprile 2011, dopo aver analizzato i risultati di circa 10.000 collisioni protone-antineutrone, è stata scoperta una nuova particella elementare, probabilmente un gluone o un bosone Z" (vedi Wikipedia).

In definitiva il significato fisico di particella elementare è profondamente legato alla nostra capacità di sondare la materia, sia a livello teorico ma anche e soprattutto sperimentale, per cercare di scoprire la struttura ultima, se questa esiste, di ogni singola particella***.

(*) Gli urti tra particelle possono essere elastici oppure anelastici: solo nel caso elastico l'energia cinetica si conserva e non si trasforma perciò in nuove particelle; tuttavia entrambi i tipi di urto possono fornire informazioni utili sulla struttura interna della particella bersaglio.
(**) Come ricorda Wikipedia "una particella con caratteristiche compatibili con il bosone di Higgs (teorizzato nel 1964) è stata osservata nel 2012 negli esperimenti ATLAS e CMS condotti con l'acceleratore LHC".
(***)  Con gli attuali acceleratori ad alta energia è possibile sondare particelle ritenute puntiformi (come quark e leptoni) fino a distanze di 10^-17 m alle quali in effetti non presentano nessuna struttura interna.

Massa a riposo "nulla"!

Riprendiamo due precedenti post come "Il concetto fisico della Massa" e "Il Fotone che 'media'" per definire meglio cosa si intende con massa a riposo di una particella e in particolare qual è il significato di massa nulla.

È noto che nell'ambito della fisica classica la massa è una proprietà intrinseca della materia, che resta costante in ogni sistema isolato.
Tuttavia "nel quadro più ampio della relatività ristretta, specialmente in una prospettiva storica, la massa relativistica non è più una proprietà intrinseca della materia ma dipende anche dallo stato della materia stessa e dal sistema di riferimento in cui viene osservata" (vedi Wikipedia).

Detto questo si deve però osservare che anche nell'ambito relativistico "è possibile definire un invariante relativistico, detto massa a riposo o massa invariante m₀ al quale la massa relativistica* si riconduce nel caso in cui la particella sia in quiete" (ovviamente rispetto al sistema di riferimento considerato).

Sappiamo cioè che, una volta definita la quantità di moto p e l'energia relativistica E di una particella in moto, la massa invariante m₀ si ricava dall'equazione: 

(m₀c²)²=E²-(pc)²

dove c è la velocità della luce nel vuoto.

Nota: questa fondamentale relazione della Relatività Ristretta è stata derivata nel post "Derivare la Massa Relativistica".

La massa a riposo m₀ (invariante) resta quindi la stessa per qualsiasi sistema di riferimento e, in particolare, quando ci troviamo nel riferimento in cui la particella si trova in quiete (cioè quando la quantità di moto è p=0), l'equazione precedente si riduce alla nota relazione E=m₀c² che rappresenta l'energia della massa in quiete.

Si osservi che quando la massa della particella è nulla (cioè per m₀=0) ricaviamo, sempre dalla precedente equazione, la relazione E=pc; ciò vale ad esempio per il fotone, che come è noto ha massa nulla ma quantità di moto diversa da zero.
Nota: ricordiamo che il fotone** ha energia E=h/T dove T=λ/c è il periodo e λ la sua lunghezza d'onda; perciò dalla relazione E=pc si ricava p=h/λ.

Infine, se osserviamo che in generale per una particella in moto relativistico risulta p=mv ed E=mc² (m è la massa relativistica della particella) possiamo ricavare la velocità v della stessa in modo indipendente dalla massa:

v=pc²/E

da cui si ottiene che, quando E=pc (cioè per particelle con massa nulla), si ha v=c.

Nota: perciò particelle con massa nulla non possono risultare in quiete rispetto a nessun sistema di riferimento inerziale ma presentano sempre la stessa velocità c.

Dovrebbe perciò essere chiaro perché la velocità del fotone nel vuoto***, che ha massa nulla, deve essere proprio quella della luce!

(*) Per chiarire il significato fisico della massa relativistica vedi il post "Derivare la Massa Relativistica".
(**) Il valore di E=h/T attribuito al fotone è dovuto ad Einstein e alla sua corretta interpretazione dell'effetto fotoelettrico (vedi il post "Un effetto Foto-elettrico!").

(***) In un mezzo solido, fluido o gassoso la velocità v della luce è minore di quella nel vuoto dato che gli atomi presenti nel mezzo in parte l'assorbono, in parte la riemettono oppure la diffondono; in questi casi si definisce l'indice di rifrazione del mezzo n=c/v>1.

Ma cos'è una "Onda"?

Secondo quanto affermato da Wikipedia "non è semplice dare una definizione autonoma e precisa del termine onda, sebbene questo termine sia comunemente molto usato in contesti molto differenti fra loro".

In effetti in fisica il termine onda viene usato per fenomeni periodici diversi, ad esempio avremo: "le onde elastiche, le onde di pressione (onde acustiche e onde d'urto), le onde marine, le onde elettromagnetiche (la luce), le onde gravitazionali, le onde sismiche".

Storicamente si hanno due tipi di approccio al fenomeno ondulatorio (in particolare la propagazione di un'onda), quello della fisica classica e quello della fisica quantistica; ricordiamo infatti che (per i dettagli vedi Wikipedia):
-> "secondo il modello concettuale della fisica classica, si può affermare che in natura, al di là delle nozioni di spazio, tempo, energia e carica elettrica, tutto ciò che non è materia (cioè dotato di massa) è un'onda, cioè energia in propagazione";

-> mentre "agli inizi del XX secolo la meccanica quantistica, attraverso il principio di complementarietà, sancisce il cosiddetto dualismo onda-particella" definendo quindi un nuovo e rivoluzionario concetto dell'universo fisico (di cui abbiamo già trattato nel post "Il dualismo onda-particella").

Nel contesto fisico attuale un preciso significato fisico del fenomeno di propagazione di un'onda si trova esclusivamente nella sua descrizione matematica, dove possiamo introdurre una particolare funzione periodica f(x,t) che per definizione lo rappresenta (vedi Wikipedia). In breve possiamo affermare che:

"Una funzione f(x,t) rappresenta un'onda che si propaga lungo l'asse X di un sistema di riferimento cartesiano se la dipendenza dallo spazio x e dal tempo t è data dalla sola combinazione di (x±Vt) cioè: 

f(x,t)=f(x±Vt)

dove V è una costante positiva"* (che definiremo di seguito).

In questo contesto appare chiaro cosa si intende con perturbazione fisica di un'onda**: infatti se la funzione dell'onda è definita come sopra "la perturbazione dipende dall'argomento ξ=x±Vt e quindi trasla lungo lo spazio e nel tempo a velocità V costante e senza cambiare la sua forma.
Consideriamo infatti la stessa perturbazione al tempo t+Δt e nel punto x+Δx si avrà, posto ∆x=λ la lunghezza dell'onda e ∆t=T il suo periodo:

ξ=x±Vt=x+∆x±V(t+∆t)=x±Vt+(∆x±V∆t)=costante

da cui deve seguire che Δx±VΔt=0 ottenendo di conseguenza: ∆x/∆t=±V" (dove V rappresenta perciò la velocità dell'onda).

Se ora riscriviamo f(x,t)=f(x±Vt)=f(ξ(x,t)) (dove ξ=x±Vt) e applichiamo le regole di derivazione delle funzioni di funzione a f(ξ(x,t)) otteniamo:

∂f(ξ)/∂x=(df/dξ)(∂ξ/∂x)=df/dξ   (essendo ∂ξ/∂x=1)

∂f(ξ)/∂t=(df/dξ)(∂ξ/∂t)=±Vdf/dξ   (essendo ∂ξ/∂t=±V)

quindi derivando una seconda volta si ha:

∂²f/∂x²=d²f/dξ²   e   ∂²f/∂t²=V²d²f/dξ²

da cui segue perciò l'equazione delle onde (meglio nota come equazione di d'Alembert):

∂²f/∂t²=V²∂²f/∂x²

che ricordiamo ha come soluzione generale:

f(x,t)=g(x-Vt)+h(x+vt).

Nota: la funzione g(x-Vt) rappresenta un'onda che si propaga nel verso positivo dell'asse X mentre h(x+Vt) si propaga nel verso opposto.

(*) Consideriamo qui un'onda ideale f(x,t) che non dissipa energia e che mantiene la stessa forma durante la propagazione. In pratica ciò significa che dato un punto P dell'onda durante lo spostamento, questo ripresenta periodicamente lo stesso valore (cioè f_P(x±Vt)=costante) ogni volta che x±Vt=costante; da ciò segue per derivazione dx/dt=±V che definisce quindi la velocità di fase V di un punto P qualsiasi dell'onda.
Per completezza ricordiamo invece che il caso di una onda dispersiva, che cambia cioè la sua forma durante il moto (ma senza dissipare energia), può essere rappresentato (grazie all'analisi di Fourier) da una somma di onde sinusoidali, cioè un pacchetto d'onde la cui velocità V_g≠V è detta velocità di gruppo dell'onda (per i dettagli vedi i post "Velocità di Fase e di Gruppo!" e "Onde, armoniche e... Fourier!").
(**) Si osservi che con questa definizione possiamo parlare di fenomeno di propagazione ondulatoria anche quando non esiste un mezzo di propagazione (ad esempio le onde elettromagnetiche nel vuoto) o non viene trasportata energia lungo lo spazio (per esempio le onde stazionarie).

Il Campo Elettro&Magnetico

Riprendiamo il precedente post "Elettro e Magnetismo" in cui è stato introdotto il concetto di campo elettrico e quello di campo magnetico presi separatamente.

Vediamo ora cosa si intende invece con campo elettromagnetico considerato nel suo insieme* (vedi Wikipedia):
"Il campo elettromagnetico è dato dalla combinazione del campo elettrico E e del campo magnetico B: il campo elettrico è un campo di forze conservativo generato nello spazio dalla presenza di cariche elettriche stazionarie, mentre il campo magnetico è un campo vettoriale non conservativo generato da cariche in moto".
Nota: si ricordi che "mentre nell'elettrostatica sono le cariche ad essere approssimativamente stazionarie, nella magnetostatica sono le correnti ad essere approssimativamente stazionarie" cioè invarianti rispetto al tempo (vedi Wikipedia).

Questo campo combinato è responsabile dell'interazione elettromagnetica** infatti nel suo insieme "il campo elettromagnetico genera una forza F_tot che agisce su una particella carica, data dall'equazione generale di Lorentz:

F_tot=q(E+vxB)

dove q è la carica della particella e v è la sua velocità".
Nota: spesso solo la forza dovuta al campo magnetico F_B=qvxB viene denominata forza di Lorentz.

Si osservi che la relazione vettoriale vxB implica che la forza F_B=qvxB esercitata dal campo magnetico sulla carica in moto q è sempre perpendicolare alla traiettoria della particella.

È per questo motivo che la potenza della forza, o meglio la variazione istantanea di energia cinetica W così definita*** (posto F_tot=costante):

W=dL/dt=F_totds/dt=F_totv 

risulta proporzionale solo al campo elettrico:

W=F_totv=q(E+vxB)v=qEv

essendo il prodotto scalare (vxB)v=0 (poiché (vxB)⊥v).

In definitiva "la variazione istantanea di energia cinetica della particella (cioè la potenza della forza W) è interamente dovuta alla componente del campo elettrico E lungo la direzione del moto, mentre il campo magnetico B non ha effetto sull'energia cinetica. Questa è la ragione per cui, negli acceleratori di particelle, i campi elettrici servono ad aumentare l'energia cinetica delle particelle, mentre i campi magnetici sono usati per mantenere il fascio entro la traiettoria desiderata" (vedi Wikipedia).

(*) Stiamo qui considerando il caso statico, nel caso dinamico invece "la variazione temporale di uno dei due campi determina sempre il manifestarsi dell'altro: campo elettrico e campo magnetico sono caratterizzati da una stretta connessione, stabilita dalle quattro equazioni di Maxwell" (vedi Wikipedia).

(**) Ricordiamo che in assenza di sorgenti (cioè cariche e correnti) il campo elettromagnetico si può sviluppare come una onda elettromagnetica; la forza esercitata dal campo e.m. dinamico su una carica q (in un punto r al tempo t) è data come nel caso statico: F_tot(r,t)=q(E(r,t)+vxB(r,t)).
(***) Poiché risulta dL=F_totds=d(mv²/2) (vedi il post "Il Teorema della 'Vis Viva'") possiamo definire la potenza della forza come W=dL/dt=d(mv²/2)/dt e cioè come la variazione istantanea di energia cinetica.