Un gas ideale o... perfetto!

L'equazione dei gas perfetti è un buon esempio di come in fisica si proceda spesso per modelli derivati sperimentalmente al fine di descrivere i fenomeni naturali e come questi modelli siano validi sotto ben definite condizioni fisiche.
Nota: sul modo di procedere della scienza vedi anche il post "Il Metodo Scientifico".

Osserviamo subito che "per gas ideale (o gas perfetto) si intende un gas che possieda le seguenti proprietà:

• le molecole sono considerate puntiformi [quindi prive di volume e di energia di rotazione interna];
• le molecole interagiscono tra loro e con le pareti del recipiente attraverso urti perfettamente elastici [perciò l'energia meccanica si conserva];
• sono trascurabili le forze di interazione a distanza tra le molecole del gas [ovvero si trascura l'energia potenziale];
• le molecole del gas sono considerate identiche tra loro ma distinguibili [possiamo cioè applicare i principi della meccanica statistica];
• il moto delle molecole è casuale e disordinato in ogni direzione ma soggetto a leggi deterministiche [siamo quindi in condizioni non quantistiche]."
  (Vedi Wikipedia)

Questa premessa è necessaria poiché "in fisica e in termodinamica si usa generalmente l'approssimazione detta dei gas perfetti: il gas cioè viene considerato costituito da atomi puntiformi, che si muovono liberi da forze di attrazione o repulsione fra loro e le pareti del contenitore".

È proprio grazie a questa approssimazione che è possibile "formulare la legge nota come equazione di stato dei gas perfetti, che descrive, in condizioni di equilibrio termodinamico (dove le variabili di stato son ben definite), la relazione fra pressione, volume e temperatura del gas: 

pV=nRT 

dove p è la pressione, V il volume occupato dal gas, n il numero di moli, R la costante universale dei gas perfetti e T la temperatura" (vedi Wikipedia).

Nota: per chiarimenti sulla legge di stato dei gas perfetti vedi il post "Una Legge di Stato: pv=nRT".

Ad esempio, in condizioni stabili di equilibrio termodinamico, dalla relazione precedente si ricava subito che, indipendentemente dal tipo di gas, ponendo n=1 segue V=RT/p e quindi sostituendo i relativi valori si ha che "una mole di gas perfetto occupa 22,4 litri a temperatura di 0 °C e pressione di 1 atmosfera".
Nota: per questo motivo un volume pari a 22,4 litri è detto volume molare (si ricordi che 1litro=1dm³).

Tuttavia, per quanto è stato premesso sui gas ideali, si osservi che "i gas reali vengono descritti dalla legge dei gas perfetti con buona approssimazione solo quando la pressione è sufficientemente bassa e la temperatura sufficientemente alta" (vedi Wikipedia).

Nota: in queste condizioni possiamo trascurare l'energia potenziale dovuta alle forze di interazione tra le molecole come richiesto per i gas ideali.

Tenendo conto di queste particolari condizioni possiamo attribuire un preciso significato fisico all'equazione di stato dei gas perfetti in modo che abbia una corrispondenza diretta, anche se approssimata, con la realtà sperimentale.

Il principio "immaginario" di causalità

Quando si parla di causalità* tra eventi fisici è naturale porsi la seguente domanda: "Ogniqualvolta si assiste a due eventi A e B in rapida successione, è logico pensare che ci sia una qualche connessione fra i due eventi, e in particolar modo, che l'evento che viene cronologicamente per primo produca il successivo e che quindi l'evento A sia la causa dell'evento B?" (vedi Wikipedia).

In particolare il filosofo scozzese David Hume (1711-1776) esaminò con attenzione il processo fisico di causa ed effetto e si pose la seguente questione: "Con quale procedimento e su quali basi si può desumere B dato l'evento A?".

Sempre seguendo Wikipedia: "L'esempio famoso di Hume è quello della palla da biliardo A lanciata contro un'altra B: per un qualunque osservatore apparirà sempre prima una palla che si scontra con un'altra e poi il mettersi in moto di quest'ultima". Nella sua critica al concetto di causalità "Hume tentò di capire quale fosse il ragionamento che ci fa prevedere il moto di B conoscendo soltanto quello di A".

Secondo Hume ci sono solo due ragionamenti che possono portare a questo nesso causale: uno che possiamo definire a priori e l'altro a posteriori.
Tuttavia "escluse subito un ragionamento a priori, ovvero una inferenza necessaria che ad A fa seguire necessariamente B, in quanto fra due eventi è impossibile ricavare una qualsiasi relazione necessaria".
Ma escluse anche il ragionamento a posteriori poiché "si può solo affermare, in base all'esperienza, che A precede B o che A è molto vicino temporalmente a B ma non si può dedurre niente che leghi indiscutibilmente l'evento A a quello B".

"Il fatto insomma che ad un evento A segua da milioni di anni un evento B non può darci la certezza assoluta che ad A segua sempre B e nulla ci impedisce di pensare che un giorno le cose andranno diversamente e, per esempio, a B segua A" (vedi Wikipedia).

In definitiva il significato fisico del principio di causalità, in mancanza di "un principio di uniformità della natura che si incarichi di mantenere costanti in eterno le leggi della natura", è esclusivamente legato alla nostra pura immaginazione di osservatori!

(*) Questo post è da considerarsi come introduttivo al post "Prima la causa e poi... l'effetto?" dove affronteremo il problema della causalità tra due eventi secondo la teoria della relatività.

Prima la causa e poi... l'effetto?

Consideriamo due eventi A e B nello spazio-tempo relativistico che supponiamo si verifichino, rispettivamente, nel punto x₁ al tempo t₁ e nel punto x₂ al tempo t₂ in un determinato sistema di riferimento inerziale; formalmente possiamo esprimere i due eventi come: A(x₁,t₁) e B(x₂,t₂).

Ora se definiamo la distanza spaziale tra i due eventi ∆x=x₂-x₁ e l'intervallo temporale ∆t=t₂-t₁ avremo due possibilità (c è la velocità della luce):

(1)   ∆x/∆t≤c   oppure   ∆x/∆t>c   (2)

Ciò significa che i due eventi A e B (a seconda della loro distanza ∆x e dell'intevallo temporale ∆t) potrebbero essere connessi tra loro, perlomeno, da un raggio di luce che collega A a B (nel caso 1) o viceversa (nel caso 2) non potrebbero essere in nessun modo correlati (cioè fisicamente connessi tra loro).
Nota: si può mostrare che la relazione che intercorre tra i due eventi (cioè il caso 1 oppure il caso 2) resta la stessa per ogni sistema di riferimento inerziale*.

È evidente che solo nella ipotesi 1 potremmo stabilire una relazione di causa ed effetto tra i due eventi; mentre nella ipotesi 2 non potremmo mai stabilire nessun tipo di correlazione (poiché secondo la relatività nessuna informazione viaggia più veloce della luce).

Inoltre la teoria della relatività ristretta mostra** che nel caso 1 qualsiasi osservatore inerziale (che si muove cioè ad una qualsiasi velocità v≤c rispetto al sistema di riferimento degli eventi A e B) vedrà i due eventi nello stesso ordine temporale: ciò significa, ad esempio, che se t₂>t₁ allora l'evento A si verificherà prima di B in ogni sistema di riferimento inerziale considerato.
Mentre nel caso 2 l'ordine degli eventi dipenderà dalla velocità v dei vari osservatori: in questo caso, come abbiamo detto, non potremmo mai avere nessun tipo di correlazione (vedi Wikipedia).

Si noti che questo fatto è del tutto coerente con la relazione di causa ed effetto; infatti solo nel caso di una correlazione fisica tra gli eventi A e B (siamo nel caso 1) questa sarebbe vera in qualsiasi sistema di riferimento inerziale, come ci aspetteremmo.

Il problema potrebbe però porsi per ipotetiche particelle che viaggiano più veloce della luce (i presunti tachioni)***; in questo caso infatti la correlazione causale potrebbe verificarsi anche nel caso 2 (cioè gli eventi potrebbero essere in correlazione proprio grazie ad un tachione inviato da A a B).
Tuttavia, come abbiamo detto, in questa ipotesi l'ordine temporale non sarebbe lo stesso per tutti gli osservatori: potrebbe cioè accadere che alcuni di essi vedano verificarsi l'effetto prima della causa!

Il significato fisico di causa ed effetto, in questo caso anomalo (e presunto) di velocità superluminali, sarebbe perciò tutto da rivedere.
Si osservi però che, nella realtà, non esiste un principio fisico della natura per cui ad un evento A debba sempre seguire necessariamente un evento B, anche se questi appaiono correlati da un principio di causa ed effetto.

Nota: per approfondimenti vedi il post "Il principio 'immaginario' di causalità".

(*) È noto che in relatività l'intervallo spazio-temporale è una relazione invariante tra due eventi (vedi Wikipedia): ∆s²=∆x²-c²∆t²; perciò nel caso 1 (cioè ∆x/∆t≤c) risulterà ∆s²≤0 mentre nel caso 2 (∆x/∆t>c) avremo ∆s²>0 per ogni osservatore inerziale (cvd).

(**) Secondo le trasformazioni di Lorentz tra due diversi riferimenti in moto relativo v vale la relazione ∆t'=γ(∆t-v∆x/c²) che si può riscrivere come ∆t'=γ(1-v∆x/∆tc²)∆t; si può facilmente verificare che se vale la relazione di causalità |∆x/∆t|≤c allora γ(1-v∆x/∆tc²)≥0 cioè ∆t' ha lo stesso segno di ∆t e quindi l'ordine temporale resta invariato (cvd).
(***) A proposito dei tachioni e dei problemi che la loro esistenza porrebbe alla teoria della Relatività vedi il post "Più veloce della luce!".

Fusione nucleare: fonte di energia?

Iniziamo col dire che "in fisica nucleare la fusione è il processo di reazione nucleare attraverso il quale i nuclei di due o più atomi vengono compressi tanto da far prevalere l'interazione forte sulla repulsione elettromagnetica" (vedi Wikipedia).

Quindi solo quando la forza di compressione dei nuclei prevale sulla repulsione elettromagnetica questi possono fondersi "unendosi tra loro ed andando così a generare un nucleo di massa maggiore dei nuclei reagenti nonché, talvolta, uno o più neutroni liberi".

Ciò che di questa reazione è particolarmente interessante è che "la fusione di elementi fino ai numeri atomici 26 e 28 (ferro e nichel) è esoenergetica, ossia emette più energia di quanta ne richieda il processo di compressione"(!)
Nota: in questi processi la conservazione dell'energia è rispettata ma non quella della massa che si trasforma in energia attraverso la nota relazione E=mc².

È quindi evidente che se fossimo in grado di controllare e confinare in laboratorio una reazione di questo tipo, non solo sarebbe probabilmente in grado di automantenersi (utilizzando una parte dell'energia prodotta per comprimere i nuclei), ma ne potremmo utilizzare una buona parte per le nostre esigenze energetiche.

In effetti proprio per sfruttare questa possibilità che ci regala la natura "negli ultimi sessant'anni è stato profuso un notevole sforzo teorico e sperimentale per mettere a punto la fusione nucleare per generare elettricità".

Tuttavia, nonostante "il processo di fusione sia il meccanismo che alimenta il Sole e le altre stelle poiché all'interno di esse, tramite la nucleosintesi, si generano tutti gli elementi che costituiscono l'universo dal litio fino all'uranio", ricreare in laboratorio questa reazione in modo controllato, confinato e soprattutto per ricavarne una fonte di energia sicura e pulita, non è stato ancora possibile*.

Ad ogni modo, anche se è molto difficile riprodurlo in laboratorio, il processo di fusione nucleare ha acquisito un preciso significato fisico proprio grazie alle teorie fisiche che lo descrivono e che hanno trovato conferma sia nello spazio astronomico sia, e purtroppo soprattutto, nella costruzione della bomba a fusione nucleare.

(*) In realtà esistono i generatori di neutroni (come il cosiddetto Fusor): in questi particolari dispositivi è possibile accelerare le particelle e, per motivi statistici, una piccola percentuale di queste raggiunge una energia tale da generare la fusione e liberare neutroni; tuttavia l'energia ottenuta da tali dispositivi è di molto inferiore a quella utilizzata per generare la fusione stessa.

Più veloce della luce!

Nella letteratura scientifica sono state introdotte da tempo, ma solo teoricamente, particolari particelle denominate tachioni.
Secondo Wikipedia: "Il tachione (dal greco ταχύς tachýs, "veloce") è una particella che viaggia ad una velocità superiore a quella della luce. La prima descrizione teorica dei tachioni è attribuita al fisico Arnold Sommerfeld".

Tale definizione però, e in particolare il superamento della velocità della luce nel vuoto, pone dei seri problemi alla teoria della Relatività Ristretta di Albert Einstein*.
Come descritto da Wikipedia "secondo Einstein, la massa totale di una particella rispetto ad un dato sistema di riferimento è la somma della sua massa a riposo e dell'incremento di massa dovuto all'energia cinetica**; se m₀ indica la massa a riposo, allora l'energia totale è data dalla relazione: 

E=m₀c²/(1-v²/c²)^1/2".

Nota: questa relazione è stata derivata nel post "Derivare la Massa Relativistica".

Risulta perciò evidente che, per valori di v>c, il valore al denominatore della precedente equazione diventa immaginario (poiché il numero sotto radice diventa negativo); possiamo però eliderlo ammettendo che anche il valore della massa dei tachioni sia espresso da un numero immaginario (in questo modo l'energia E resta un numero reale).

Ne consegue allora che avremmo tre categorie diverse di particelle (definite rispettivamente da v<c, v>c e v=0):
a) particelle comuni o bradioni con massa reale e velocità inferiori a c;
b) i presunti tachioni con massa immaginaria e velocità superiori a c;
c) le particelle con massa nulla come i fotoni dove risulta v=c.
Nota: si può dimostrare che per particelle con massa nulla deve risultare v=c (vedi il post "Massa a riposo "nulla"!).

In pratica ciò significa che "allo stesso modo in cui per i bradioni è impossibile superare la barriera della velocità della luce, lo stesso vale per i tachioni, che non possono avere velocità inferiori a quella della luce" non potendo certo passare improvvisamente da una massa reale ad una immaginaria e viceversa*** (vedi Wikipedia).

Tuttavia "è difficile interpretare il significato fisico di una massa di valore complesso. Un effetto curioso è che, a differenza delle particelle ordinarie, l'energia di un tachione diminuisce all'aumentare della sua velocità" come si può facilmente dedurre dall'equazione precedente per valori di v>c.

Nonostante queste ed altre contraddizioni della teoria relativistica, come per esempio l'impossibilità di distinguere tra passato e futuro nelle relazioni causali (che per i tachioni dipenderebbero dal sistema di riferimento, come descritto nel post "Prima la causa e poi... l'effetto?"), ciò non ha impedito ai fisici di fare alcune speculazioni teoriche sulle velocità superluminali (vedi Wikipedia).

Ricordiamo ad esempio che "il 23 settembre 2011 l'esperimento OPERA, presso i Laboratori nazionali del Gran Sasso, ha misurato la velocità dei neutrini che avrebbero percorso la distanza di 730Km tra l'acceleratore di particelle del CERN e il laboratorio del Gran Sasso con 60ns di anticipo rispetto alla velocità della luce", riaprendo a livello internazionale il dibattito teorico sull'esistenza dei tachioni.

In realtà i dati registrati a settembre dal rivelatore OPERA, che mettevano in discussione la teoria della relatività di Einstein, sono stati provocati (come è stato poi verificato dallo stesso gruppo di ricercatori), da un'anomalia nel funzionamento degli apparati per la misurazione (vedi Wikipedia).

È ovvio che se l'esperimento fosse stato confermato, il significato fisico della scoperta di particelle strane come i tachioni, avrebbe dovuto essere attentamente ridiscusso e analizzato alla luce delle loro particolari proprietà fisiche.

(*) Tuttavia "secondo la teoria della relatività generale, è possibile costruire modelli dello spazio-tempo in cui alcune particelle viaggiano più veloci della luce relativamente ad un osservatore distante" anche se, localmente, non superano la velocità della luce (vedi Wikipedia).
(**) Secondo la teoria della relatività l'energia totale E=mc² di una particella in moto di massa m è data da E=m₀c²+E_c (dove m₀ è la massa a riposo ed E_c l'energia cinetica) da cui segue che m=m₀+E_c/c² perciò l'incremento di massa di una particella è dovuto all'energia cinetica.
(***) Si osservi però che "a livello teorico sarebbe possibile modificare istantaneamente la velocità attraverso un processo controllato di annichilazione e successiva ri-creazione di un oggetto ad una differente velocità" (vedi Wikipedia).

Il Principio di Conservazione dell'energia

Per prima cosa vediamo cosa si intende, in generale, con Principio di Conservazione:
"In fisica, una legge di conservazione o principio di conservazione descrive la conservazione nel tempo di una grandezza fisica in un sistema fisico isolato" (vedi Wikipedia).
Nota: un sistema si definisce isolato quando non scambia con l'ambiente esterno né massa, né calore, né lavoro o qualsiasi altra forma di energia.

Perciò, requisito fondamentale per parlare di conservazione di una qualsiasi grandezza fisica, è proprio quello di trovarsi in un sistema fisico isolato.

Si osservi inoltre che "il termine principio indica le basi e i presupposti iniziali su cui si basa o poggia una teoria; da esso poi discendono tutta una serie di leggi secondarie che caratterizzano la teoria in questione" (vedi Wikipedia).

In particolare dal principio generale di conservazione discende "la legge di conservazione dell'energia che è la più importante delle leggi di conservazione note in fisica. Nella sua forma più intuitiva questa legge afferma che, sebbene possa essere trasformata e convertita da una forma all'altra, la quantità totale di energia di un sistema isolato è costante, ovvero il suo valore si mantiene immutato al passare del tempo" (vedi Wikipedia).
Nota: per la formalizzazione della conservazione dell'energia meccanica si veda il post "E se le forze non sono conservative?".

In particolare il significato fisico della conservazione dell'energia è stato molto ben espresso dal grande fisico Richard Feynman:
"C’è un fatto, o se volete una legge, che governa i fenomeni naturali sinora noti. Non ci sono eccezioni a questa legge, per quanto ne sappiamo è esatta. La legge si chiama conservazione dell’energia ed è veramente un'idea molto astratta, perché è un principio matematico: dice che c’è una grandezza numerica che non cambia qualsiasi cosa accada. Non descrive un meccanismo o qualcosa di concreto. È solo un fatto un po’ strano: possiamo calcolare un certo numero, e quando finiamo di osservare la natura che esegue i suoi giochi, e ricalcoliamo quel numero, troviamo che non è cambiato" (tratto da "La fisica di Feynman" Vol.I).

L'equazione di... continuità!

Vogliamo mostrare come a volte, per attribuire un definito significato fisico ad una data equazione differenziale, è più utile esprimerla in forma integrale.

A titolo di esempio introduciamo l'equazione di continuità, così come viene definita da Wikipedia:
"In fisica, l'equazione di continuità è un'equazione differenziale che esprime in forma locale la legge di conservazione per una generica grandezza fisica utilizzando il flusso della grandezza attraverso una superficie chiusa".

Nota: l'equazione di continuità riguarda sempre la conservazione di qualche grandezza fisica definita attraverso il suo flusso.

Specifichiamo quindi cosa si intende con flusso di una grandezza:
"In fisica il flusso di una data grandezza fisica è usato in presenza di fenomeni di trasporto (le grandezze coinvolte possono essere per esempio il calore o la massa) e rappresenta la quantità della grandezza che attraversa nell'unità di tempo una data superficie (perpendicolare rispetto alla direzione in cui avviene il trasporto della grandezza) diviso l'area della superficie considerata" (vedi Wikipedia).

Formalizziamo perciò il concetto di flusso: dato un campo vettoriale J ed una superficie infinitesima da orientata* il flusso infintesimo di J attraverso da è definito come il prodotto scalare dØ=Jda; quindi il flusso totale Ø è dato dall'integrale di dØ su tutta la superficie considerata.

Prendiamo ad esempio (vedi Wikipedia) "la legge di conservazione della carica elettrica; in forma differenziale è definita dall'equazione di continuità:

dove J=ρv è la densità di corrente elettrica, ρ la densità di carica e v la velocità di deriva"; in questo esempio il flusso infinitesimo della densità di corrente elettrica è definito da di=Jda.
Nota: la velocità di deriva v è la velocità del moto ordinato delle cariche che costituiscono la corrente (perciò non corrisponde alla velocità media degli elettroni dovuta all'agitazione termica) (vedi Wikipedia). 

Si osservi come, in forma integrale, il significato fisico di questa equazione diventa subito chiaro; infatti integrando l'equazione precedente rispetto al volume e facendo uso del teorema della divergenza si ottiene:

 

dove V è il volume racchiuso da S ed i è per definizione la corrente elettrica e rappresenta il flusso della densità di corrente (essendo di=Jda)**.

Nota: il segno meno indica che la densità di carica diminuisce mentre la corrente fuoriesce dalla superficie S (poiché la superficie è chiusa J si orienta per convenzione verso l'esterno).

Da questa espressione integrale risulta perciò evidente come "il flusso i della densità di corrente J attraverso una qualunque superficie chiusa S sia pari alla variazione nel tempo della carica contenuta nel volume racchiuso da S"***.

Questa fondamentale equazione, in forma differenziale (locale) oppure integrale (globale), costituisce la ben nota legge di conservazione della carica elettrica.

(*) Se indichiamo con n la normale orientata esternamente alla superficie chiusa considerata, possiamo definire la superficie infinitesima orientata: da=nda.
(**) Si osservi che, essendo per definizione di=Jda, allora i rappresenta il flusso della densità di corrente J (vedi sopra la definizione del flusso).
(***) Se poniamo dQ=ρdV (dove dQ è la quantità di carica infinitesima nel volume dV) possiamo riscrivere l'equazione di continuità: i=-∂Q/∂t (a conferma che la corrente elettrica i è dovuta alla variazione di carica Q).