Un problema di massa variabile

Nel post "L'equazione del Razzo!" (a cui rimandiamo) abbiamo derivato l'equazione dinamica che lega la variazione della quantità di moto totale dP/dt del centro di massa del sistema (razzo+combustibile), alla variazione della velocità del razzo dv/dt e a quella della sua massa dm/dt (dovuta all'espulsione del carburante):

dP/dt=mdv/dt-v_edm/dt

dove v_e è la velocità (supposta costante) di espulsione del carburante rispetto al razzo che a sua volta si muove di velocità v rispetto a un riferimento inerziale*.
Nota: si ricordi che la massa m del razzo comprende anche quella del suo combustibile interno (che poi viene espulso sotto forma di gas).

In questa rappresentazione la parte del sistema di cui studiamo il moto, è proprio quello a massa variabile del razzo, che perde massa espellendo il carburante; in particolare nel caso non agiscano forze esterne sul sistema (come ad esempio la forza di gravità) si ottiene F^ext=dP/dt=0 (cioè la quantità di moto totale si conserva) e l'equazione precedente diventa:

mdv/dt=v_edm/dt

da cui risulta evidente che l'accelerazione del razzo è dovuta alla variazione di massa dello stesso e alla velocità di espulsione costante del carburante.
Nota: nella trattazione classica (non relativistica) la massa totale del sistema massa+carburante si conserva.

Proseguendo con le nostre ipotesi, consideriamo ora un semplice sistema che varia la sua massa interna: ad esempio della sabbia che si accumula, attraverso un imbuto, su un nastro trasportatore (infinito) che si muove a velocità costante.
Nota: supponiamo che il motore del nastro mantenga costante il moto della sabbia, vincendo la sua inerzia, man mano che questa viene depositata.

Consideriamo quindi la quantità di moto di tutti i granelli di sabbia di massa m₁, m₂ ... m_N quando vengono depositati sul nastro; valutiamo per esempio la situazione ad un determinato istante di tempo, quando sul nastro si trovano N particelle di sabbia che si muovono tutte alla velocità v=costante del nastro (posto m=m₁+m₂+...+m_N):

P=m₁v+m₂v+...+m_Nv=mv.

È chiaro che la quantità di moto varia nel tempo (poiché mentre si accumulano i granelli varia m) perciò passando con buona approssimazione al continuo possiamo scrivere (derivando P rispetto al tempo e ricordando che v=costante):

dP/dt=mdv/dt+vdm/dt=vdm/dt.

Nota: si suppone che la funzione m(t) che rappresenta l'accumulo della massa sul nastro sia una funzione continua rispetto al tempo e derivabile.

La variazione della quantità di moto dP/dt, dovuta all'accumulo della sabbia, implica che sul nastro trasportatore agisca una forza motrice esterna F^ext=vdm/dt che mantiene costante la sua velocità (altrimenti con l'inerzia della sabbia il nastro tenderebbe a fermarsi).

Nota: nella trattazione non abbiamo incluso la massa costante M del nastro dato che, risultando (m+M)dv/dt=0 e vd(m+M)/dt=vdm/dt, sarebbe ininfluente.

Ora si ricordi che in generale (vedi il post "L'equazione del Razzo!") per un sistema di N particelle possiamo definire la quantità di moto totale:

P=m₁v₁+m₂v₂+...+m_Nv_N=mv_cm

dove m=m₁+m₂+...+m_N è la massa totale mentre

v_cm=dr_cm/dt

è la velocità del centro di massa del sistema definito come

r_cm=(m₁r₁+m₂r₂+...+m_Nr_N)/m.

Quindi per un sistema a massa variabile m(t) avremo in definitiva:

dP/dt=mdv_cm/dt+v_cmdm/dt

che rappresenta la seconda legge di Newton per un corpo (o un sistema di particelle) a massa variabile (detta anche prima equazione cardinale).

Perciò nel caso in cui risulti v_cm=v=costante si ottiene di nuovo l'equazione prima ottenuta per la sabbia che si accumula sul nastro trasportatore (che è appunto un sistema a massa variabile):

dP/dt=vdm/dt.

Nota: poiché tutti i granelli si muovono a velocità v è ovvio che risulti v_cm=v (infatti essendo P=m₁v+m₂v+...+m_Nv=mv_cm segue v=v_cm).

Ma torniamo al nostro nastro trasportatore: la forza esterna del motore, applicata al nastro per trasportare la sabbia a velocità costante, sarà data come abbiamo visto dalla variazione della sua quantità di moto:

F^ext=dP/dt=vdm/dt.

Da questa relazione possiamo ottenere la potenza fornita dalla forza esterna al nastro, che è così definita:

P^ext=dL/dt=F^extds/dt=F^extv

essendo dL=F^extds il lavoro infinitesimo fatto dalla forza per un tratto ds (con v=ds/dt). Quindi poichè F^ext e v hanno stessa direzione e verso risulta per sostituzione (essendo F^ext=vdm/dt):

P^ext=dL/dt=v²dm/dt.

Si osservi però che il lavoro infinitesimo dL=v²dm fatto dalla forza esterna nel far girare il nastro, non si trasforma completamente nell'energia cinetica di un elemento di massa dm pari a dE_c=(1/2)dmv² ma esattamente la metà finisce in energia interna ∆E_int del sistema; infatti per la conservazione dell'energia deve risultare:

∆E_int=dL-dE_c=(1/2)dL

che viene presumibilmente spesa dalle forze di attrito del nastro per mettere in moto i granelli di sabbia.**

Nota: solo quando m=costante tutto il lavoro L compiuto su un sistema meccanico si traduce in una variazione della sua energia cinetica risultando L=∆E_c (vedi il post "Il Teorema della 'Vis Viva'").

(*) Ricordiamo che vale la seguente relazione: v_e=v_c-v dove v_c è la velocità del combustibile espulso dal razzo rispetto al sistema inerziale prescelto.

(**) Si osservi che "la spiegazione quantistica dell'attrito ne lega le cause all'interazione elettrostatica attrattiva tra le molecole delle superfici di contatto" (vedi Wikipedia); perciò il sistema considerato (sabbia+nastro) non è esclusivamente di tipo meccanico.

Condensatore e Induttore: concentratori di energia!

Come è noto un circuito elettrico è il luogo fisico dove si manifestano fenomeni di natura elettromagnetica; in particolare "un circuito elettrico è l'interconnessione di elementi elettrici in un percorso chiuso in modo che la corrente possa fluire con continuità" (vedi Wikipedia).
Nota: ricordiamo che la corrente I(t) è definita come la quantità di carica dQ che attraversa la sezione di un conduttore nel tempo dt: I(t)=dQ(t)/dt.

Si osservi inoltre che un circuito elettrico "soddisfa con buona approssimazione il modello a parametri concentrati, secondo il quale è possibile assumere che tutti i fenomeni avvengono esclusivamente all'interno dei componenti elettronici e delle interconnessioni tra questi"*.

Vogliamo ora introdurre due noti componenti elettronici che, dal punto di vista matematico, possono essere definiti attraverso le relazioni che legano la tensione elettrica V(t) (misurata ai capi dei dispositivi) alla corrente I(t) (che circola in essi) e che, come vedremo di seguito, evidenziano una certa simmetria.

Si ha infatti per il dispositivo elettronico denominato condensatore:

I(t)=CdV(t)/dt

mentre per il dispositivo detto induttore risulta:

V(t)=LdI(t)/dt

dove C rappresenta la capacità mentre L definisce l'induttanza del componente (come descriveremo di seguito).

Analizziamo quindi queste due relazioni dal punto di vista del significato fisico descrivendo in che modo sono state ricavate; per semplicità supponiamo che i valori di I(t) e V(t) siano due funzioni derivabili del tempo e trascuriamo andamenti transitori ponendoci in condizione di regime.

Partiamo dalla prima relazione dove V(t) indica la tensione elettrica** (variabile) applicata alle due piastre del condensatore, che sono separate da un isolante, e su cui si accumula la carica elettrica (per i dettagli vedi Wikipedia); il campo elettrico all'interno del condensatore si forma proprio quando viene applicata una tensione V(t) in modo da separare le cariche elettriche presenti sulle piastre conduttrici (e che si mantiene costante grazie all'isolante posto tra esse fino alla scarica del condensatore).

Nota: all'esterno del condensatore il campo elettrico è praticamente nullo dato che le cariche presenti sulle due piastre ravvicinate sono uguali ed opposte.

Possiamo definire la capacità C del condensatore come il rapporto tra la carica Q(t) accumulata sulle piastre e la tensione elettrica V(t) applicata:

C=Q(t)/V(t).

Nota: in pratica C misura la predisposizione all'accumulo di carica del condensatore e dipende dalle sue caratteristiche fisiche e geometriche (vedi Wikipedia).

Perciò se riscriviamo Q(t)=CV(t) e calcoliamo la variazione della carica Q(t) rispetto al tempo otteniamo (secondo le regole di derivazione):

dQ(t)/dt=CdV(t)/dt+V(t)dC/dt

da cui, supponendo che la capacità C resti invariata (dC/dt=0) e ricordando che per definizione I(t)=dQ(t)/dt, si ottiene la relazione prima introdotta:

I(t)=CdV(t)/dt.

Nota: in realtà qui la corrente I(t) (detta di spostamento) non è dovuta ad un moto fisico di cariche tra le due piastre (che sono separate da un isolante) ma alla variazione del campo elettrico interno*** (vedi Wikipedia).

Passiamo ora alla seconda relazione relativa all'induttore, dove I(t) rappresenta la corrente elettrica (variabile) che scorre lungo un avvolgimento di materiale conduttivo (tipicamente rame), realizzato come un solenoide (vedi Wikipedia); poiché un conduttore percorso da corrente I(t) genera un campo magnetico B(t), all'interno del solenoide di sezione S avremo un flusso magnetico Φ_B(t)=B(t)/S (poiché B(t) è supposto uniforme).
Nota: se il solenoide è molto lungo rispetto al diametro delle spire, il campo magnetico è uniforme e paralleo all'asse delle spire ed è in pratica nullo all'esterno.

Ora, come abbiamo visto nel post "Una Legge 'indotta': Farday&Lenz", la variazione del flusso magnetico Φ_B(t) generato in un circuito chiuso come quello del solenoide, induce una forza elettromotrice V(t) nel circuito stesso:

V(t)=dΦ_B(t)/dt

che ricordiamo si oppone alla variazione del flusso.
Nota: consideriamo il valore positivo di V(t) poiché nel circuito essa rappresenta una forza contro-elettromotrice (perché si oppone alla variazione del flusso).

Definiamo quindi, in modo analogo al condensatore, l'induttanza L dell'induttore come il rapporto tra il flusso magnetico Φ_B(t) accumulato nell'induttore e la corrente I(t) che circola in esso:

L=Φ_B(t)/I(t).

Nota: L misura la predisposizione all'accumulo di flusso Φ_B(t) nell'induttore e dipende dalle sue caratteristiche fisiche e geometriche (vedi Wikipedia).

Quindi se riscriviamo Φ_B(t)=LI(t) e calcoliamo la variazione del flusso Φ_B(t) rispetto al tempo ricaviamo:

dΦ_B(t)/dt=LdI(t)/dt+I(t)dL/dt

da cui, supponendo che l'induttanza L resti invariata (dL/dt=0) e ricordando che V(t)=dΦ_B(t)/dt, si ottiene la relazione prima introdotta:

V(t)=LdI(t)/dt.

Nota: si ricordi che V(t) non rappresenta una differenza di potenziale ma una forza elettromotrice (detta anche tensione elettrica) indotta dalla variazione di corrente.

Possiamo infine calcolare l'energia immagazzinata dai due dispositivi.

Iniziamo col definire la potenza elettrica dei due componenti (vedi Wikipedia):
"In elettrotecnica la Potenza P(t) è il lavoro elettrico W(t) svolto su una carica elettrica da un campo elettrico nell'unità di tempo" cioè:

P(t)=dW(t)/dt=V(t)dQ(t)/dt=V(t)I(t).

Nota: per definizione di f.e.m. il lavoro elettrico elementare fatto su una carica infinitesima dQ è pari a dW(t)=V(t)dQ(t) (vedi il post "La Forza-elettro-motrice").

Perciò utilizzando le relazioni prima ricavate, nel caso del condensatore otteniamo il lavoro elementare nell'unità di tempo (essendo I(t)=dQ(t)/dt):

dW_C(t)/dt=V(t)I(t)=V(t)dQ(t)/dt

da cui segue (essendo C=Q(t)/V(t)):

dW_C(t)=(Q(t)/C)dQ(t)

ed integrando rispetto alla carica Q(t) che si accumula sulle piastre si ricava:

W_C(t)=(1/2)Q(t)²/C=(1/2)CV(t)²

che quindi dipende da C e dalla tensione elettrica al quadrato V(t)² applicata alle piastre del condensatore.

Mentre per quanto riguarda l'induttore avremo per il lavoro infinitesimo nell'unità di tempo (essendo V(t)=dΦ_B(t)/dt):

dW_L(t)/dt=V(t)I(t)=I(t)dΦ_B(t)/dt

da cui si ricava (essendo L=Φ_B(t)/I(t)):

dW_L(t)=(Φ_B(t)/L)dΦ_B(t)

ed integrando rispetto al flusso Φ_B(t) che si accumula nell'induttore segue:

W_L(t)=(1/2)Φ_B(t)²/L=(1/2)LI(t)²

che perciò dipende da L e dalla corrente al quadrato I(t)² che circola nell'induttore.

In definitiva possiamo affermare che i due dispositivi esaminati, quando vengono posti all'interno di un circuito elettrico ideale (che è appunto un modello a parametri concentrati), si comportano come due veri e propri concentratori di energia (elettrica e magnetica rispettivamente).

Nota: abbiamo considerato due dispositivi puri (capacitivi o induttivi ma non ibridi) e che non presentano dispersioni o inerzia al caricamento (cioè ideali e con resistenza nulla).

(*) In particolare risulta che "un sistema elettromagnetico costituito da dispositivi che soddisfino ragionevolmente l'ipotesi dei parametri concentrati può essere studiato trascurando la geometria del circuito [...] sostituendo le equazioni di Maxwell con le più semplici leggi di Kirchhoff" (vedi Wikipedia).
(Per approfondire vedi anche il post "Le 2 leggi di Kirchhoff")
(**) Per chiarire i concetti di forza elettromotrice (detta anche tensione elettrica) e potenziale elettrico (o differenza di potenziale poiché dipende solo dai punti del campo considerato) vedi il post "La Carica di prova e il Potenziale elettrico".
(***) In particolare la corrente di spostamento è data dall'integrale della variazione del campo elettrico E(t) che attraversa la superficie S tra le due piastre: .

Revisione Blog 2.0

Avviso ai miei 7 lettori! ;-)

Ho appena finito di revisionare tutti i post del blog correggendo imprecisioni o inesattezze, ma soprattutto aggiornando i link ai vari post in modo che quelli più vecchi siano collegati agli ultimi post inseriti.

Buon Significato Fisico a Tutti!

PS: siete sempre invitati a segnalarmi eventuali imprecisioni, scorrettezze o errori di stompa... :(
e a fare se volete una donazione a Wikimedia Italia.

Grazie!

 www.sostienilacultura.it

La Carica di prova e il Potenziale elettrico

Come è noto una carica di prova, che chiameremo q, posta in un campo elettrico E è considerata tale solo se è "sufficientemente piccola da provocare una perturbazione trascurabile sull'eventuale distribuzione di carica che genera il campo" (vedi Wikipedia).

In effetti, come avevamo già visto nel post "Elettro e Magnetismo", possiamo così definire il campo elettrico stazionario:
"Il campo elettrico E(r) in un punto r è definito come il rapporto tra la forza elettrica F(r) generata dal campo su un oggetto carico e la carica q dell'oggetto stesso:

E(r)=lim_q-->0 F(r)/q ".

La carica di prova q viene fatta tendere a zero proprio per non perturbare il campo elettrico mentre il rapporto F(r)/q resta costante: ad esempio la forza generata da una carica Q su una carica di prova q è F(r)=kQq/r² dove k è la costante di Coulomb ed r la distanza tra le due cariche; perciò risulta E(r)=kQ/r² che è indipendente dalla carica q (vedi anche Wikipedia).

Passiamo ora alla definizione di potenziale elettrico V(r) che, proprio grazie alla carica di prova q, si riconduce a quella di energia potenziale elettrica U_e(r); quest'ultima è infatti così definita (vedi Wikipedia):
"L'energia potenziale elettrica U_e(r) posseduta da una carica elettrica puntiforme q nella posizione r in presenza di un campo elettrico E(r) è pari all'opposto del lavoro W(r) [cioè al lavoro compiuto dalla forza elettrostatica F(r)=qE(r) per portare q da una posizione di riferimento r₀, in cui la carica ha un'energia nota, alla posizione r]; più semplicemente in formule:

dove V(r) è, per definizione, il potenziale elettrico in r [o meglio la differenza di potenziale rispetto ad r₀] e ds è lo spostamento infinitesimo della carica"*.
Nota: per la definizione di energia potenziale vedi anche il post "Energia potenziale<=>Forza conservativa".

Quindi in definitiva il potenziale elettrico V(r) in un punto r del campo è definito come il rapporto tra l'energia potenziale elettrica U_e(r) e la carica di prova q:

V(r)=U_e(r)/q

ed è, come il campo elettrico, anch'esso indipendente dalla carica di prova q.
Nota: si veda Wikipedia per il calcolo esteso del potenziale elettrico nel caso di una o più cariche elettriche.

Tuttavia si deve osservare che nell'integrazione del lavoro infinitesimo dW=Fds abbiamo implicitamente supposto che dW sia un differenziale esatto (vedi il post "Un differenziale... esatto!") e quindi che l'integrale dipenda solo dagli estremi di integrazione e non dal percorso (ciò significa che lungo una linea chiusa l'integrale di dW è nullo).
Nota: quando ciò accade si dice che il campo di forze è conservativo (vedi anche il post "Campo conservativo=>irrotazionale!").

Se viceversa l'integrazione di Fds dipende dal tipo di percorso e non solo dagli estremi indicati (cioè il campo di forze non è conservativo), allora il lavoro W generato lungo una linea chiusa non è nullo (e quindi dW non è un differenziale esatto).

Ovviamente anche in questo caso possiamo definire (come già fatto nel post "La Forza-elettro-motrice") la quantità:

V=W/q 

dove W è ancora il lavoro compiuto sulla carica di prova, ma non è più definibile una funzione W(r) che dipenda esclusivamente dalla posizione r della carica (e quindi nemmeno l'energia potenziale sarà definibile come nel caso conservativo cioè: U_e(r)=-W(r)).
Nota: quando il differenziale del lavoro non è esatto lo indichiamo come δW=Fds (invece di dW); ad esempio nel post "Il Lavoro di Volume" abbiamo definito δW=-pdV che infatti non è un differenziale esatto.

In questi casi V non è più chiamato potenziale elettrico (proprio per indicare che una funzione potenziale non è definibile) ma indica, più in generale, la cosiddetta forza elettromotrice o in breve f.e.m.**.

Ciò accade, ad esempio, nel caso particolare della forza elettromotrice indotta lungo un circuito chiuso, poiché essa è dovuta al fenomeno fisico dell'induzione elettromagnetica e non ad una differenza di potenziale tra due punti del campo.

In questo caso, come abbiamo già visto nel post "Una Legge 'indotta': Faraday&Lenz" si ricordi che (vedi Wikipedia):
"La legge di Faraday afferma che la forza elettromotrice V indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico B è pari all'opposto della variazione del flusso magnetico Φ_B del campo attraverso l'area abbracciata dal circuito nell'unità di tempo: 

V=-dΦ_B/dt".

Quindi V non dipende solo dal punto del campo in cui viene calcolato il flusso magnetico Φ_B ma anche dalla variazione del flusso in quel punto rispetto al tempo***.

(*) Il motivo del segno meno, per cui il lavoro è pari all'opposto dell'energia potenziale, è che in questo modo ad un lavoro W corrisponde una variazione negativa -∆V=W/q del potenziale della carica.
(**) Con f.e.m. si intende anche la tensione elettrica E fra due punti di un circuito aperto come quella ai capi di un generatore elettrico sconnesso dal circuito (vedi il post "La Forza-elettro-motrice").
(***) Oltre al simbolo V, detto anche tensione elettrica, si indica più correttamente la forza-elettro-motrice con l'acronimo f.e.m. (oppure con il simbolo E); il simbolo V indica più frequentemente il potenziale elettrico o la differenza di potenziale (vedi sopra).

Il Motore Elettrico: ma come funziona?

Come funziona il motore elettrico a corrente continua è, a parole, presto detto (vedi Wikipedia):

"La corrente elettrica passa in un avvolgimento di spire che si trova nel rotore (la parte mobile). Questo avvolgimento, composto da fili di rame, crea un campo elettromagnetico al passaggio di corrente. Questo campo elettromagnetico è immerso in un altro campo magnetico creato dallo statore (l'insieme delle parti fisse), il quale è caratterizzato dalla presenza di una o più coppie polari (calamite, elettrocalamite, ecc.).

Il rotore inizia a girare in quanto il campo magnetico del rotore tende ad allinearsi a quello dello statore analogamente a quanto avviene per l'ago della bussola che si allinea col campo magnetico terrestre. Durante la rotazione il sistema costituito dalle spazzole e dal collettore commuta l'alimentazione elettrica degli avvolgimenti del rotore in modo che il campo magnetico dello statore e quello del rotore non raggiungano mai l'allineamento perfetto, in tal modo si ottiene la continuità della rotazione".

Data la descrizione generale del funzionamento del motore elettrico, traduciamo tutto questo in equazioni.

Introduciamo allo scopo due figure esplicative.

Nella prima figura (qui di seguito) è illustrato lo statore del motore elettrico (cioè i due magneti permanenti Nord e Sud) con all'interno l'avvolgimento delle spire del rotore (la parte mobile), entrambi visti in sezione:

Mentre nella seguente figura sono mostrati in dettaglio alcuni conduttori della spira del rotore di raggio r compresi nell'angolo dθ (cioè i fili di rame in neretto), con indicati diversi valori elettrici che descriveremo di seguito:

Nota: in figura con E abbiamo indicato la forza contro-elettromotrice indotta (contro perché si oppone alla rotazione del rotore); tuttavia nel testo che segue la indicheremo con V (per coerenza con le formule dei post citati nel testo) mentre con E indicheremo la forza elettromotrice della batteria.

Supponiamo per ipotesi una distribuzione uniforme dell'avvolgimento della spira e indichiamo con N il numero totale dei conduttori e quindi con

dn=(N/2π)dθ

il numero di conduttori compresi in dθ (con buona approssimazione).

Nota: integrando dn tra 0 e 2π si ottiene correttamente il numero totale N dei conduttori.

Mentre con B indichiamo il campo magnetico dello statore, diretto in senso radiale rispetto all'asse del rotore (come indicato nella prima figura) e assunto costante in modulo. Ciò significa che ogni conduttore, attraversato dalla corrente costante I e sottoposto al campo magnetico perpendicolare B, è soggetto ad una forza elementare dF (la forza di Lorentz)* tangente alla circonferenza del rotore (come indicato nella seconda figura).

Il modulo della forza elementare dF=Fdn esercitata su dn=(N/2π)dθ conduttori adiacenti (posti in serie) tutti di lunghezza L, è perciò:

dF=ILBdn=ILB(N/2π)dθ

essendo la forza di Lorentz F=qvB=ILB (poiché v_|_B) dove I=q/T=qv/L è la corrente costante delle cariche elettriche che circolano nei conduttori di lunghezza L a velocità v.

Quindi il momento della coppia infinitesima del rotore (cioè la forza dF per il braccio perpendicolare r) è:

dM=rdF=IB(N/2π)da

dove da=Lrdθ è l'area infinitesima (segnata in neretto nella seconda figura) attraversata dal campo magnetico B costante. 

Nota: integrando l'area infinitesima da tra 0 e 2π si ottiene correttamente l'area del cilindro A=2πrL del rotore.

Ricordando che il flusso magnetico infinitesimo è dΦ_B=Bda (essendo B costante) si ha infine:

dM=I(N/2π)dΦ_B

ed integrando su tutti i contributi si ha la coppia totale del motore elettrico:

M=(N/2π)Φ_BI=K_cI

che perciò risulta proporzionale alla corrente I essendo K_c=(N/2π)Φ_B la costante di coppia (che dipende dalla struttura del rotore).

Calcoliamo ora la forza contro-elettromotrice dV indotta nei dn conduttori adiacenti, che si oppone alla variazione dΦ_B/dt del flusso magnetico generando una caduta di tensione ai morsetti del motore** (come richiesto dalle leggi di Kirchhoff) e opponendosi quindi alla sua rotazione.
Nota: la variazione dΦ_B è dovuta alla rotazione del rotore i cui conduttori tagliano perpendicolarmente il campo costante B cioè: dΦ_B=Bda essendo da=Lrdθ l'area infinitesima variabile.

Ricordando che nel post "Una Legge 'indotta': Faraday&Lenz" abbiamo introdotto la forza elettromotrice V=-dΦ_B/dt (e quindi nel nostro caso risulta V=-NdΦ_B/dt avendo moltiplicato per tutti gli N conduttori), allora per i dn conduttori adiacenti risulta:

dV=-(dΦ_B/dt)dn=-(N/2π)wdΦ_B

essendo dn=(N/2π)dθ e dn/dt=(N/2π)dθ/dt=(N/2π)w dove w=dθ/dt è la velocità angolare del rotore***.

Nota: se definiamo L_r=Φ_B/I come l'induttanza (costante) del rotore allora V=dΦ_B/dt=L_rdI/dt (forza contro-elettromotrice con segno "+").

Perciò la forza contro-elettromotrice complessiva V (cioè con segno positivo) ai morsetti del motore è (integrando su tutti i contributi):

V=(N/2π)Φ_Bw=K_ew

che quindi risulta proporzionale alla velocità angolare w essendo K_e=(N/2π)Φ_B la costante di forza elettromotrice (che dipende dalla struttura del motore).

Nota: risulta K_e=K_c dato che K_e e K_c sono strutturalmente identiche.

Si osservi infine come la potenza sviluppata dal motore elettrico e definita come P=VI risulti uguale (in assenza di dispersioni) a quella meccanica:

P=VI=(K_ew)(M/K_c)=wM

come già avevamo ricavato nel post "Potenza e Coppia in... bicicletta!".
Nota: per definizione di f.e.m. (vedi il post "La Forza-elettro-motrice") il lavoro elettrico dW fatto su una carica infinitesima dq è pari a dW=Vdq quindi risulta: P=dW/dt=Vdq/dt=VI essendo I=dq/dt la corrente.

Vediamo infine il significato fisico del motore elettrico: poiché V è legata alla velocità angolare w del motore (e quindi alla velocità della ruota motrice v=wr) mentre I è correlata alla coppia M espressa dal motore, quest'ultimo trasforma l'energia elettrica completamente in energia meccanica (in assenza di dispersioni) come prova la relazione P=VI=wM.

(*) Secondo la forza di Lorentz una carica elettrica q in moto con velocità v in presenza di un campo magnetico B subisce una forza F=qvxB diretta secondo la regola della mano destra.
(**) L'equazione che descrive la dinamica della corrente I è data dalla relazione: E=R_sI+L_sdI/dt+V dove R_s e L_s rappresentano rispettivamente la resistenza e l'induttanza delle spire, mentre V=L_rdI/dt è la forza contro-elettromotrice misurata ai morsetti del motore (L_r è l'induttanza del rotore) ed E la forza elettromotrice della batteria.

(***) Possiamo anche ricavare (essendo dΦ_B=Bda e da/dt=Lrdθ/dt=Lv):

dV=(dΦ_B/dt)dn=(N/2π)vBLdθ.
Si osservi che tale relazione esprime la legge del flusso tagliato: un conduttore rettilineo L di un circuito chiuso, in moto con velocità v rispetto ad un campo magnetico uniforme B, genera una forza contro-elettromotrice V=(vxB)L che si oppone alla variazione del flusso (nel nostro caso v_|_B e integrando dV tra 0 e 2π si ha V=NvBL per tutti gli N conduttori).

Potenza e Coppia in... bicicletta!

Diamo innanzitutto la definizione di Potenza in fisica (vedi Wikipedia):
"La potenza è definita come il lavoro L compiuto nell'unità di tempo t, ovvero come la sua derivata temporale:

P=dL/dt.

In base al principio di uguaglianza tra lavoro ed energia, la potenza misura la quantità di energia scambiata nell'unità di tempo, in un qualunque processo di trasformazione, meccanico, elettrico, termico o chimico che sia".
Nota: per la relazione tra lavoro ed energia vedi il post "E se le forze non sono conservative?".

Se ricordiamo che per definizione il lavoro infinitesimo è dL=Fds dove F è la forza applicata ad un corpo che si sposta lungo un tratto infinitesimo ds (vedi il post "E se le forze non sono conservative?") allora avremo la seguente relazione:

P=Fds/dt=Fv

dove v=ds/dt è la velocità istantanea del corpo in moto.

Ora passiamo alla definizione di coppia motrice (vedi Wikipedia):
"La coppia motrice è il momento meccanico applicato dal motore a una trasmissione. Essa varia al cambiare del regime di rotazione del motore con un andamento dipendente dal tipo di motore e ha un valore massimo in corrispondenza di un determinato regime".
Nota: ricordiamo che il momento meccanico è definito come M=rxF dove r è il vettore di posizione della forza F rispetto ad un punto Ω fissato (vedi il post "Sistemi in equilibrio (meccanico)".

Quindi se ad esempio applichiamo una forza motrice orizzontale F in corrispondenza del perno di una ruota posta in verticale sopra un piano (ad esempio quella di una bicicletta di raggio r) si avrà un momento meccanico:

M=rxF

rispetto al punto di contatto col terreno (inoltre risulta M=rF essendo forza F e braccio r perpendicolari) e la ruota girerà (grazie all'attrito che le impedisce di scivolare)* con una velocità angolare:

w=2π/T 

(dove T è il periodo di rotazione) mentre la bicicletta si sposterà con una velocità:

v=wxr

essendo T=2πr/v (in particolare v=wr poiché w è perpendicolare a r).

Nota: la velocità dipende anche da altri elementi, che abbiamo trascurato, come la forza di attrito dell'aria (dovuta al veicolo+ciclista), l'attrito di rotolamento delle ruote, la pendenza della strada, etc.

Calcoliamo allora la potenza alla ruota quando il veicolo è in moto** (ricordando che F e v hanno la stessa direzione):

P=Fv=(M/r)(wr)=Mw

perciò la potenza, nel caso generale di un veicolo su ruote, dipende dal momento meccanico M (cioè dalla coppia motrice) e dalla velocità angolare w della ruota.
Nota: poiché per ipotesi la ruota gira senza strisciare, il punto di contatto col terreno esercita un attrito statico (cioè senza spostamento) e quindi la forza di attrito non compie lavoro.

Da questa equazione risulta evidente come, a parità di potenza, si possa aumentare la coppia M (che esprime la forza motrice F=M/r) diminuendo però la velocità angolare w (e quindi la velocità di spostamento v=wr).

Inoltre grazie al cambio delle marce, che modifica il rapporto di trasmissione, è possibile variare la velocità angolare w della ruota motrice mantenendo inalterata quella del motore (o dei pedali del ciclista) in modo da rendere costante il suo rendimento*** (vedi la tabella di Wikipedia). 
Nota: i motori elettrici, che hanno un rendimento praticamente costante, non hanno bisogno di marce.

(*) In effetti dobbiamo considerare una coppia di forze uguali e contrarie: una si esercita sul perno della ruota mentre l'altra, grazie all'attrito, si esercita sul punto di contatto della ruota col terreno (altrimenti la ruota scivolerebbe); il risultato complessivo del momento è di nuovo M=rF essendo r il braccio della coppia (vedi il post "Una coppia di Forze").
(**) Se trascuriamo le perdite dovute alla trasmissione meccanica, allora la potenza espressa alla ruota è la stessa di quella prodotta dalla forza motrice del motore (o dai muscoli del ciclista).
(***) Quasi tutti i motori (esclusi quelli elettrici) esprimono una coppia massima, e quindi una potenza massima, in funzione di una determinata velocità angolare.

Un gioco di... vettori!

Tracciamo un vettore, di colore blu, su un foglio di carta millimetrata come indicato nella seguente figura:

Si noti che il vettore blu disegnato in figura rappresenta l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha una base di 4 mm e un'altezza di 2 mm quindi il suo modulo (per il teorema di Pitagora) è pari alla radice quadrata di 20 (cioè circa 4,5 mm).
Nota: per ricavare l'angolo di inclinazione θ (rispetto alla base) basta osservare che tanθ=altezza/base=0,5 da cui si ottiene θ≈27 gradi.

Supponiamo che questo vettore indichi lo spostamento (dal punto di applicazione alla punta del vettore), di una automobile che procede a velocità costante, nell'arco diciamo di un secondo; quindi la sua velocità sarà pari a circa 4,5 mm al secondo (o anche v≈4,5x60x60/1000≈16 metri/ora).

Per rendere la cosa più interessante, dato che stiamo parlando di un'auto sportiva, cambiamo scala e supponiamo che il lato di ogni quadretto indichi 10 metri di spostamento, da cui otteniamo per la velocità dell'auto:

v≈45x60x60≈160 Km/ora.

Nota: come vedremo la velocità dell'auto, definita dalla lunghezza del vettore, può cambiare ogni secondo.

Si osservi che se l'automobile non modifica la sua velocità, dopo un secondo il vettore in rosso indicherà la sua nuova posizione, avendo percorso altri 45 metri circa nella stessa direzione (e così via secondo dopo secondo).

Ora per il moto dell'auto, che come abbiamo detto è rappresentato dallo spostamento dei vettori, stabiliamo alcune semplici regole:
1) supponiamo che il nostro vettore rappresenti sia la velocità v di una automobile che si muove nello spazio, ma anche lo spazio s percorso dall'auto ad ogni secondo, cioè s=v∆t (dove ∆t=1 secondo);
2) ad ogni secondo l'automobile può accelerare oppure decelerare o ancora cambiare direzione semplicemente scegliendo uno degli 8 punti vicini a quello indicato dalla freccia in rosso (come indicato in figura dai vettori in verde)*.

A questo punto se tracciamo una linea di partenza, definiamo un numero di giri da compiere lungo un percorso prestabilito e permettiamo ad altre auto/vettori di partecipare alla gara... il gioco è fatto!

Nota: per approfondimenti sul gioco dei vettori, le regole e le sue origini storiche vedi Wikipedia; è anche possibile scaricare una App per iOS, tuttavia il gioco con carta millimetrata e matita è molto più appassionante!

(*) Se la velocità v(t) cambia da quella iniziale v_i a quella finale v_f nel tempo ∆t=1 allora, se vogliamo che s=v_f∆t deve risultare s=∫v(t)dt=v_f∆t; ciò significa che la variazione di v(t) è istantanea (o che v(t) aumenta e diminuisce in ∆t passando almeno una volta per v_f per il teorema della media).