Velocità di Fase e di Gruppo!

Diamo subito le due definizioni di velocità di fase e di gruppo di un'onda:
"In fisica la velocità di fase è la velocità con cui si propaga la fase di un'onda, sia essa elettromagnetica o meccanica. La velocità di fase* può essere visualizzata come la velocità di propagazione di una cresta dell'onda ma non coincide necessariamente con la velocità di propagazione di un segnale che è invece descritta dalla velocità di gruppo" (vedi Wikipedia);
e
"La velocità di gruppo di un'onda è la velocità con cui si propagano nello spazio le variazioni nella forma dell'ampiezza dell'onda. Si tratta della velocità dell'inviluppo o modulante dell'onda" (vedi Wikipedia).

Ricordiamo, prima di chiarire le due definizioni, che in generale un'onda è definita formalmente come f(x,t)=f(x±Vt) (vedi il post "Ma cos'è una 'Onda'?") dove V è una costante (che definiremo di seguito) dell'onda che si propaga lungo l'asse X.

Se ad esempio consideriamo un'onda piana sinusoidale essa è rappresentata dalla seguente funzione**:

f(x,t)=Acos(kx±wt)

dove k=2π/L e w=2π/T (L e T sono la lunghezza e il periodo dell'onda) mentre A indica l'ampiezza dell'onda e l'argomento S=kx±wt viene definito come fase dell'onda periodica*** (dove il segno ± indica l'avanzamento lungo l'asse positivo o negativo dell'onda).

Nota: presi due istanti di tempo t₂>t₁ e date le ascisse x₂=Vt₂ e x₁=Vt₁ segue x₂>x₁ e x₁-Vt₁=x₂-Vt₂; quindi l'argomento (x-Vt) rappresenta un'onda che si sposta nella direzione positiva dell'asse X (viceversa per -V si ha (x+Vt)).

Ora se consideriamo un'onda ideale f(kx±wt), essa è per ipotesi non dispersiva (cioè mantiene la stessa forma durante la propagazione) e inoltre non dissipa energia. Ciò significa che dato un punto P dell'onda durante lo spostamento, questa ripresenta periodicamente lo stesso valore (cioè risulta f_p(kx±wt)=costante) ogni volta che la fase S risulta:

S=kx±wt=costante 

da cui segue derivando S rispetto al tempo (cioè dS/dt=kdx/dt±w=0):

V=dx/dt=±w/k

perciò V definisce la velocità di fase di un punto P qualsiasi dell'onda.

Per chiarire invece il concetto di velocità di gruppo vediamo un semplice esempio. Consideriamo due diverse onde periodiche, rispettivamente con velocità di fase V₁=w₁/k₁ e V₂=w₂/k₂ ma stessa ampiezza A₀, che si propagano lungo l'asse X:

A₁(x,t)=A₀cos(k₁x-w₁t)   e   A₂(x,t)=A₀cos(k₂x-w₂t).

Quindi per sovrapposizione, cioè facendo la loro somma algebrica (usando le formule di prostaferesi per la somma dei coseni) si ottiene una terza onda che chiameremo A₃(x,t):

A₃(x,t)=A₁(x,t)+A₂(x,t)=A(x,t)cos(kx-wt)

dove w=(w₁+w₂)/2, k=(k₁+k₂)/2 e dove in particolare risulta per l'ampiezza A(x,t) (definita modulante dell'onda):

A(x,t)=2A₀cos[(k₁-k₂)x-(w₁-w₂)t]/2.

Nota: per tutte le onde definite dalla generica funzione f(x,t)=f(x±Vt), che ricordiamo è una soluzione dell'equazione differenziale delle onde, vale il principio di sovrapposizione: date due o più soluzioni di questa equazione, anche la loro somma algebrica è una soluzione della stessa equazione.

Si noti che anche A₃(x,t) è formalmente un'onda, poiché ottenuta per sovrapposizione di due onde (si veda la nota sopra); in effetti l'ampiezza A(x,t) ha il solo effetto di modulare l'onda A₃(x,t) che ha pulsazione w e numero d'onda k.
Possiamo perciò derivare la velocità di fase dell'onda A₃(x,t), che come abbiamo visto sopra sarà data dal rapporto w/k:

V=w/k=(w₁+w₂)/(k₁+k₂).

Tuttavia si osservi che anche l'ampiezza A(x,t)=2A₀cos(kx-wt) si comporta come un'onda con pulsazione w=(w₁-w₂)/2 e numero d'onda k=(k₁-k₂)/2.

Quindi possiamo derivare (in modo analogo a quanto fatto sopra per V) la velocità con cui si muovono i piani di fase costante dell'ampiezza A(x,t) (ad esempio i massimi di A(x,t)); infatti posto:

S=kx-wt=costante

segue per derivazione di S (cioè dS/dt=kdx/dt-w=0):

V_g=dx/dt=(w₁-w₂)/(k₁-k₂)=∆w/∆k

che è la velocità di gruppo V_g della modulante A(x,t) dell'onda portante cos(wt-kx), essendo l'onda complessiva: A₃(x,t)=A(x,t)cos(wt-kx).

Si osservi che l'onda A₃(x,t) si dice dispersiva proprio perché non mantiene la stessa identica forma durante la propagazione (essendo V_g≠V) ma viene modulata dall'ampiezza A(x,t).

Nota: se per le due onde A₁ e A₂ avessimo V=w₁/k₁=w₂/k₂ risulterebbe V=V_g senza avere dispersione ma solo traslazione del segnale.
(Qui puoi visualizzare l'effetto di dispersione delle onde con V_g≠V)

Inoltre se le differenze delle pulsazioni e dei numeri d'onda sono molto piccole (cioè nel nostro caso se dw≈(w₁-w₂) e dk≈(k₁-k₂)) allora risulta:

V_g=dw/dk.

Tuttavia possiamo anche scrivere dw/dk=d(1/T)/d(1/L)=d(V/L)/d(1/L) (essendo w=2π/T, k=2π/L e V=L/T) da cui facendo uso delle regole di derivazione:

d(1/L)/dL=-1/L²   e   d(V/L)/dL=(1/L)dV/dL-V/L²

risulta infine

V_g=[(1/L)dV/dL-V/L²]/(-1/L²)=V-LdV/dL.

Come risulta da questa equazione V_g dipende da come varia V in funzione della lunghezza d'onda L (come in effetti accade nei mezzi dispersivi dove V_g≠V); se invece fosse V=w₁/k₁=w₂/k₂=costante allora dV/dL=0 e avremmo V=V_g senza dispersione.
Nota: si può anche ottenere più semplicemente la dipendenza di V_g dal numero d'onda k cioè V_g=dw/dk=dkV/dk=V+kdV/dk essendo w=kV.

In generale (per una dispersione normale) si ha V_g<V ma nei casi di dispersione anomala risulta V_g>V (anche quando V=c); tuttavia la velocità dell'informazione trasmessa dall'onda è sempre minore della velocità della luce in accordo con quanto previsto dalla teoria della relatività (evitando così paradossi causali, vedi il post "Prima la causa e poi... l'effetto?").

Nota: la velocità con cui si propaga l'energia è proprio quella del pacchetto d'onde in cui essa è confinata poiché all'esterno del pacchetto non si hanno moti oscillatori (esclusi i casi anomali superluminali in cui V_g>c).

(*) La velocità di fase non ha significato fisico ma solo analitico, poiché viene definita per treni d'onde di lunghezza infinita e di durata infinita: tali fenomeni ondulatori non sono riscontrabili in natura.
(**) Qualsiasi funzione così definita f(x,t)=f(x±Vt) (cioè con argomento S=x±Vt) rappresenta un'onda; ad esempio f(x,t)=(x±Vt)² oppure f(x,t)=sin[k(x±Vt)]³ sono onde che si propagano lungo X e anche kS=k(x±Vt)=kx±wt con k=2π/L e kV=kL/T=w è un argomento valido.
(***) In generale una funzione periodica di pulsazione w=2π/T può sempre essere rappresentata (sotto opportune ipotesi) come una somma di funzioni sinusoidali di opportuna ampiezza e di pulsazione multipla di quella fondamentale (vedi il post "Onde, armoniche e... Fourier!").

Il Teorema del Viriale

Prima di darne il relativo significato fisico, partiamo dalla dimostrazione del teorema in oggetto: il Teorema del Viriale.

Anticipiamo solo che fu Rudolf Clausius a sviluppare per primo il teorema per cercare di trattare i gas reali per i quali, a differenza dei gas ideali, è necessario tenere conto dell'interazione tra le molecole e quindi dell'energia potenziale che contribuisce all'energia interna del sistema.
Nota: per approfondire questo tema vedi il post "L'espansione adiabatica di Joule".

Consideriamo quindi un sistema di particelle puntiformi di massa m_i ognuna delle quali individuata dal vettore di posizione r_i (rispetto ad un sistema di riferimento inerziale) e soggetta ad una forza F_i=dp_i/dt dove p_i=m_iv_i è la quantità di moto di ogni singola particella.

A questo punto introduciamo una quantità scalare G che porterà ad un risultato notevole:

G=∑_ip_ir_i

dove la sommatoria comprende tutte le particelle del sistema.

Se ora deriviamo G rispetto al tempo si ottiene la relazione:

dG/dt=∑_ip_i(dr_i/dt)+∑_ir_i(dp_i/dt)

dove il primo termine del secondo membro risulta (essendo v_i=dr_i/dt la velocità della i-esima particella):

∑_ip_i(dr_i/dt)=∑_im_iv_iv_i=2E_c

essendo E_c=(1/2)∑_im_iv_i² l'energia cinetica totale del sistema di particelle;
mentre il secondo termine diventa (essendo F_i=dp_i/dt):

∑_ir_i(dp_i/dt)=∑_ir_iF_i.

In definitiva si ha che la variazione di G rispetto al tempo è data dalla relazione

dG/dt=2E_c+∑_ir_iF_i.

Questa relazione può essere integrata rispetto a t nell'intervallo di tempo ∆t=T e quindi, dividendo l'integrale ottenuto per T, otteniamo al primo membro la media temporale (indicata con le parentesi < , >) della variazione di G:

<dG/dt>=[G(T)-G(0)]/T.

Inoltre se consideriamo le medie temporali anche al secondo membro segue:

[G(T)-G(0)]/T=<2E_c>+<∑_ir_iF_i>.

Da ciò risulta evidente che in generale, per intervalli di tempo molto grandi (cioè per T-->∞) e se G=∑_ip_ir_i non cresce indefinitamente col tempo (cioè se le coordinate r_i e le velocità v_i rimangono finite), la quantità al primo membro diventa praticamente nulla* da cui segue perciò:

 <E_c>=-(1/2)<∑_ir_iF_i>

dove <E_c> è la media temporale dell'energia cinetica di tutte le particelle.
Nota: in generale si può scomporre la sommatoria ∑_ir_iF_i separando le forze esterne da quelle interne: ∑_ir_iF_i=∑_ir_iF_i^ext+∑_ijr_ijF_ij^int dove il pedice ij si riferisce ad ogni coppia di particelle (con i≠j) e r_ij è la distanza tra esse.

In particolare se tutte le forze F_i si possono derivare da un potenziale scalare U_i(r) e quindi F_i=gradU_i(r) (vedi il post "Campo conservativo=>irrotazionale!") avremo in definitiva:

<E_c>=-(1/2)<∑_ir_igradU_i(r)>.

dove U_i(r) rappresenta l'energia potenziale della i-esima particella.
Nota: se F_i=gradU_i(r) allora risulta dU_i(r)=F_ids che è un differenziale esatto e quindi integrandolo si ottiene l'energia potenziale U_i(r) (vedi il relativo post).

Ora se per ogni coppia (i,j) di particelle agiscono per ipotesi solo le forze interne tra le particelle (cioè se ∑_ir_iF_i^ext=0) e se supponiamo che l'energia potenziale sia del tipo U_ij(r)=-k_ij/r_ijⁿ (dove k_ij è una costante dimensionale per ogni coppia di particelle (i,j)) segue dopo qualche calcolo (risultando r_ijgradU_ij(r)=nU_ij(r))**:

<E_c>=-(1/2)n<U(r)>

dove <U(r)> è la media temporale dell'energia potenziale di tutte le coppie di particelle; in particolare si ha n=1 e k_ij=Gm_im_j nel caso dell'energia potenziale gravitazionale***.

Nota: la distanza r_ij tra due particelle indicate rispettivamente con r_i ed r_j, è data da r_ij=r_i-r_j (vettore diretto verso i); perciò r_ij e F_ij=gradU_ij(r) (forza diretta verso j) hanno versi opposti e quindi r_ijF_ij=-r_ijgradU_ij(r).

Possiamo infine enunciare come promesso il Teorema del Viriale:
"In meccanica classica, il teorema del viriale è una proposizione formale che lega la media temporale dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un sistema stabile di N particelle, che ha importanti risvolti in diverse branche della fisica. La prima formulazione del teorema è dovuta a Rudolf Clausius, nel 1870. Il nome viriale deriva dal latino vis che significa forza o energia" (vedi Wikipedia).

(*) Se il moto è periodico (cioè se le sue coordinate assumono ad ogni periodo T fissato gli stessi valori) avremo G(T)=G(0) e quindi G(T)-G(0)=0.
(**) Come abbiamo mostrato nel post "Il Principio di Azione<=>Reazione!" per le forze interne tra particelle vale la relazione F_ij=-F_ji quindi per ogni coppia di particelle avremo (essendo r_ij opposto a F_ij): 
r_iF_ij+r_jF_ji=(r_i-r_j)F_ij=r_ijF_ij=-r_ijgradU_ij(r)=nU_ij(r) essendo per ipotesi l'energia potenziale U_ij(r)=-k_ij/r_ijⁿ e quindi F_ij=gradU_ij(r)=nk_ij/r_ijⁿ⁺¹=-nU_ij(r)/r_ij.
(***) Consideriamo ad esempio il caso di una particella di massa m che si muove, per attrazione gravitazionale, attorno ad una massa M di moto circolare costante di raggio r (con M>>m in modo da poter considerare la massa M in quiete inerziale). Avremo allora che l'energia cinetica del sistema è data da E_c=(1/2)mv² mentre l'energia potenziale è U(r)=-k/r dove k=GMm (e quindi F_g=dU(r)/dr=k/r²).
Ora poiché la forza centripeta (dovuta all'accelerazione del moto circolare) è pari a F_c=mv²/r dovrà risultare F_c=F_g (affinché il corpo mantenga costante il suo moto circolare di raggio r); da cui infine si ottiene mv²=k/r e quindi -U(r)=mv²=2E_c come previsto dal teorema del viriale.

Una Coppia di Forze

Nel post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)" abbiamo definito il momento meccanico di una forza, rispetto ad un punto fissato, come il prodotto vettoriale tra il vettore di posizione e la forza stessa: 

M=rxF 

dove r indica il vettore di posizione della forza F rispetto ad un punto O fissato.

Inoltre abbiamo stabilito per definizione che "la direzione di M è perpendicolare al piano definito da F e da r; il verso, come garantito dalla regola della mano destra, è quello di un osservatore che vede ruotare F in senso antiorario" (vedi Wikipedia).
Nota: l'effetto del momento è proprio quello di produrre una rotazione intorno ad un punto di riferimento o asse (come l'apertura di una porta).

Perciò il modulo del momento, dato dal prodotto vettoriale rxF, è così definito:

M=rFsinθ

dove θ è l'angolo tra r e F come mostrato in figura:

Se si osserva che la distanza b (cioè la perpendicolare, tracciata dal punto O, alla linea di azione della forza F) è data da b=rsinθ possiamo riscrivere il modulo del momento meccanico:

M=Fb

quindi il modulo del momento di una forza è dato dal prodotto della forza per il suo braccio b.

Ma vediamo cosa accade per due forze F₁ e F₂. In questo caso il momento totale, calcolato rispetto ad uno stesso punto O, è dato dalla somma vettoriale:

M=r₁xF₁+r₂xF₂

dove r₁ e r₂ sono i vettori di posizione delle rispettive forze (rispetto ad O)*.

Se ora supponiamo che le due forze abbiano lo stesso modulo (cioè F₁=F₂=F), stessa direzione ma versi opposti (cioè sono parallele e giaciono sullo stesso piano), allora il modulo M è:

M=F₁b₁-F₂b₂=F(b₁-b₂)=Fb 

dove il segno meno è dovuto ai versi opposti dei momenti e dove b corrisponde alla distanza fra le linee di azione delle due forze (poiché b₁ e b₂ giaciono sulla retta perpendicolare alle due forze) ed è quindi indipendente dal punto O di riferimento.
Nota: se invece il punto di riferimento O fosse posto tra le due forze avremmo per la distanza b=b₁+b₂ (avendo i momenti ugual verso).

Questo particolare sistema costituisce una coppia di forze ed è evidente che solo nel caso in cui b=0 (cioè quando le forze agiscono sulla stessa retta d'azione) il momento della coppia risulta nullo.

Per chiarire il significato fisico del momento meccanico si osservi che in generale (come mostrato nel post "L'equazione del Razzo!") per un sistema di N particelle di massa totale M l'accelerazione del centro di massa  a_cm è dovuta alla risultante delle forze esterne che agisce sul centro di massa:

F^ext=Ma_cm=F₁+F₂+...+F_N.

Quindi nel caso risulti  F^ext=0 l'accelerazione del centro di massa è nulla, ma ciò non implica necessariamente che risulti anche M^ext=0 (e quindi che la variazione del momento angolare L sia nulla essendo M^ext=dL/dt).

Ad esempio nel caso di due sole forze se risulta F^ext=F₁+F₂=0 ciò non implica necessariamente che risulti:

M^ext=F₁b₁-F₂b₂=F(b₁-b₂)=0 

poiché F₁ e F₂ potrebbero non trovarsi sulla stessa retta di azione (cioè b≠0).
Nota: ricordiamo anche che in generale se F^ext=0 allora M^ext è indipendente dalla scelta del punto di riferimento O (vedi il post "Cos'è il Vettore di Posizione?").

Tutto ciò spiega perché se dalla conservazione della quantità di moto F^ext=dP/dt=0 si ottiene, per una coppia di forze, la relazione F₁=-F₂ (in modo che la risultante sia nulla) allora per garantire che le forze siano sulla stessa retta di azione (cioè b=0), è necessaria anche la conservazione del momento angolare L cioè M^ext=dL/dt=0 (vedi il post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)").

È perciò vero che se consideriamo le forze interne F^int che agiscono tra due corpi F₁₂ e F₂₁ allora dalla conservazione della quantità di moto F^int=dP/dt=0 e da quella del momento angolare M^int=dL/dt=0 possiamo dedurre il principio di azione e reazione per due corpi interagenti, risultando F₁₂=-F₂₁ (con la stessa retta d'azione).

(*) È noto che la condizione di equilibrio per la rotazione è, nel caso di due forze (opposte e parallele): M=F₁b₁-F₂b₂=0 (vedi "Sistemi in Equilibrio (meccanico)"); da cui si ricava subito la relazione F₁/F₂=b₂/b₁ che è quella tipica di una leva meccanica e cioè "una macchina semplice che trasforma l'energia, ed è un'applicazione del principio di equilibrio dei momenti" (vedi Wikipedia).

La Contrazione relativa delle Lunghezze

In questo post vogliamo mostrare come, nella Teoria della Relatività, sia centrale il concetto di dilatazione relativa del tempo (già trattato nel post "La Dilatazione relativa del Tempo") e come in particolare la contrazione relativa delle lunghezze sia una conseguenza di tale effetto.

Ricordiamo quindi la relazione precedentemente ricavata (vedi il post):

∆t'=∆t/(1-v²/c²)^1/2

dove l'intervallo di tempo ∆t' misurato da un riferimento in moto inerziale, appare maggiore rispetto all'intervallo temporale ∆t misurato in un riferimento che, per ipotesi, è in quiete rispetto al fenomeno osservato.
Nota: come vedremo per tale motivo ∆t è detto tempo proprio.

Si ricordi che l'intervallo ∆t misurato dall'orologio in quiete è denominato tempo proprio poiché per definizione: "il tempo proprio è il tempo misurato da un osservatore nel sistema di riferimento solidale con se stesso [cioè col suo orologio]" (vedi Wikipedia): in particolare il tempo proprio è il tempo misurato da un unico orologio nel punto esatto in cui si verifica il fenomeno fisico che stiamo misurando*.

Si noti inoltre che un orologio riproduce il medesimo intervallo di tempo se si trova in quiete o in moto inerziale poiché, come assume la teoria della relatività, le leggi fisiche sono le stesse in entrambi i riferimenti: quindi l'effetto di dilatazione del tempo è relativo al moto dell'osservatore.
Nota: l'effetto diventa verificabile solo quando due orologi in moto vengono posti a confronto, come accade nel noto paradosso dei gemelli (vedi il post).

Fatte queste fondamentali premesse introduciamo un righello posto lungo l'asse X, che si suppone essere rigido**, la cui lunghezza rispetto ad un osservatore in quiete è ∆l; vogliamo ora determinare la sua lunghezza ∆l', misurata da un osservatore in moto parallelo all'asse X con velocità v.
Nota: a priori non possiamo affermare che risulti ∆l=∆l'.

Si noti innanzitutto che l'osservatore in quiete S col righello, può misurare il passaggio dell'osservatore in moto S' dai due estremi A e B della sua riga, con due diversi orologi*** (posti rispettivamente in A e in B): quindi egli misura un intervallo di tempo non proprio pari a ∆t'=∆l/v.
Nota: anche per misurare la velocità v di S' si possono porre due orologi sincronizzati lungo X, ad esempio in A e B, ricavando: v=∆t'/∆l.

Viceversa l'osservatore in moto S' misura, nello stesso luogo e con un unico orologio, il tempo del passaggio dagli estremi A e B del righello (ad esempio col suo orologio da polso) e quindi misura un tempo proprio ∆t=∆l'/v.

Nota: risulta perciò evidente come la situazione tra i due sistemi di riferimento S (in quiete) e S' (in moto) non sia affatto simmetrica.

Utilizzando la relazione precedente ∆t'=∆t/(1-v²/c²)^1/2 si ottiene, sostituendo i valori rispettivamente di ∆t'=∆l/v e ∆t=∆l'/v prima definiti:

∆l/v=(∆l'/v)/(1-v²/c²)^1/2

da cui risulta immeditamente che

∆l'=∆l(1-v²/c²)^1/2

cioè la lunghezza ∆l' misurata dall'osservatore in moto appare minore di un fattore (1-v²/c²)^1/2 rispetto alla lunghezza ∆l misurata in quiete.

Si osservi infine che (come abbiamo implicitamente assunto nel post "La Dilatazione relativa del tempo") la misura delle lunghezze perpendicolari al moto non è soggetta a contrazioni: infatti un osservatore posto al centro tra due eventi, li percepisce simultanei anche se lo stesso osservatore si muove perpendicolarmente all'asse X che li unisce (ad esempio lungo Y o Z).
Nota: in pratica ciò significa che lungo gli assi Y e Z di un riferimento non si osservano variazioni nelle misure delle lunghezze (se X è l'asse del moto).

Come avevamo anticipato il significato fisico della contrazione relativa delle lunghezze è strettamente legato alla dilatazione relativa del tempo; in questo senso possiamo affermare che il concetto di tempo (in particolare quello di simultaneità degli eventi) è centrale nella teoria della relatività di Einstein.

(*) In effetti a seconda che il fenomeno temporale osservato possa (oppure no) essere misurato da un unico orologio, possiamo considerare il sistema di riferimento in quiete (oppure no) rispetto al fenomeno osservato.
(**) Con corpo rigido qui intendiamo un corpo che, relativamente al sistema in quiete, non è soggetto a deformazioni; come vedremo la contrazione vista dall'osservatore in moto è solo un effetto relativistico, non dovuto a forze reali che agiscono sul corpo.
(***) Abbiamo supposto che nella misura dell'intervallo di tempo misurato con due orologi (tempo non proprio) questi sono sincronizzati: in generale dati due orologi posti in A e B (nello stesso sistema di riferimento) possiamo porre una sorgente di luce nel punto di mezzo e porre t=0 per entrambi gli orologi nell'istante in cui arriva il segnale luminoso. 
(Si ricordi che il postulato di relatività assume, per definire la simultaneità, che la velocità della luce sia la stessa in tutte le direzioni e per tutti gli osservatori inerziali).

Cos'è il Vettore di Posizione?

Ricordiamo che "in fisica, un vettore è un elemento geometrico rappresentato da un segmento orientato, munito cioè di una freccia in una delle sue estremità e caratterizzato da quattro elementi:

• modulo: rappresenta la lunghezza del vettore (indicata da un valore e un'unità di misura);
• direzione: è individuata dal fascio di rette parallele alla retta su cui giace il vettore;
• verso: è descritto dalla punta del vettore stesso, rappresentato da un segmento orientato;
• punto di applicazione: il punto antecedente a tutti gli altri, ossia il punto iniziale".
  (Vedi Wikipedia)
  Nota: si osservi che questa definizione è indipendente dal sistema di coordinate prescelto.

In particolare in fisica è spesso usato il vettore di posizione per individuare un punto, ad esempio una particella puntiforme nel sistema cartesiano.

Per mostrare come questo vettore sia determinante per studiare il moto di sistemi qualsiasi di particelle, prendiamo ad esempio un sistema semplice di sole due particelle, rispettivamente di massa m₁ e m₂ individuate dai vettori di posizione r₁ e r₂ applicati nell'origine O di un sistema inerziale.

Come abbiamo visto nel post "L'equazione del Razzo!" possiamo definire il centro di massa del sistema:

r_cm=(m₁r₁+m₂r₂)/M

(con M=m₁+m₂) e quindi derivare la velocità del centro di massa:

v_cm=dr_cm/dt=(m₁v₁+m₂v₂)/M

dove v₁=dr₁/dt e v₂=dr₂/dt sono rispettivamente le velocità delle due particelle rispetto al sistema di riferimento inerziale considerato; inoltre risulta per la quantità di moto del centro di massa:

P_cm=Mv_cm=m₁v₁+m₂v₂=p₁+p₂

che quindi è data dalla somma delle quantità di moto delle due particelle.
Nota: per la definizione di sistema inerziale vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?"

Supponiamo per semplicità che anche il centro di massa rappresenti un riferimento inerziale, cioè risulti a_cm=dv_cm/dt=0 e quindi F^ext=Ma_cm=0 (essendo F^ext la risultante di tutte le forze esterne).

Poiché abbiamo introdotto il centro di massa come riferimento, possiamo definire due vettori di posizione r'₁ e r'₂ applicati ad esso che indicano la posizione delle due particelle rispetto al centro di massa; facendo uso della differenza tra vettori possiamo scrivere:

r'₁ =r₁-r_cm   e   r'₂=r₂-r_cm

(in pratica r'₁ unisce la punta dei vettori r₁ e r_cm, lo stesso vale per r'₂).

Possiamo quindi derivare le velocità v'₁ e v'₂ delle due particelle rispetto al centro di massa:

v'₁=dr'₁/dt=v₁-v_cm   e   v'₂=dr'₂/dt=v₂-v_cm

che, si osservi, corrispondono correttamente alla trasformazione galileana delle velocità (essendo le velocità definite rispetto a due sistemi inerziali)*.

Sostituendo il valore di v_cm prima ricavato si ottiene infine:

v'₁=m₂(v₁-v₂)/M   e   v'₂=m₁(v₂-v₁)/M.

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per fare qualche interessante considerazione sul nostro sistema a due particelle.

Si calcolino ad esempio le due quantità di moto delle due particelle p'₁=m₁v'₁ e p'₂=m₂v'₂ rispetto al centro di massa; si ottiene per sostituzione:

p'₁=m₁m₂(v₁-v₂)/M   e   p'₂=m₂m₁(v₂-v₁)/M

da cui si può derivare la quantità di moto totale rispetto al centro di massa:

P=p'₁+p'₂=0 

che risulta correttamente nulla; infatti (come abbiamo già visto nel post "L'equazione del Razzo!") essendo P=Mv_cm è evidente che per v_cm=0 (poiché il sistema di riferimento è quello del centro di massa) risulti P=0.

Ora calcoliamo il momento angolare totale L (che è stato definito nel post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)") rispetto al sistema di riferimento inerziale (cioè rispetto al punto di origine O del sistema di riferimento):

L=r₁xm₁v₁+r₂xm₂v₂.

Poiché, come abbiamo prima ricavato, sono vere le seguenti relazioni per i vettori di posizione:

r₁ =r'₁ +r_cm   e   r₂=r'₂ +r_cm

ed inoltre per le velocità risulta:

v₁=v'₁ +v_cm   e   v₂=v'₂+v_cm

sostituendo questi valori nell'equazione precedente si ottiene (ricordando che P=m₁v'₁+m₂v'₂=0):

L=L_cm+r_cmxMv_cm

dove L_cm=r'₁xm₁v'₁+r'₂xm₂v'₂ è il momento angolare totale rispetto al centro di massa (detto momento di spin) mentre r_cmxMv_cm è il momento angolare del centro di massa rispetto al sistema di riferimento inerziale (noto come momento orbitale del sistema).

Questo notevole risultato è valido per un sistema composto da un qualunque numero di particelle: il momento angolare totale può sempre essere definito come la somma del momento angolare, calcolato rispetto al centro di massa in moto inerziale (o traslatorio accelerato, vedi la nota*) e quello del centro di massa rispetto al sistema di riferimento inerziale.

Per completezza ricordiamo inoltre che se al sistema sono applicate delle forze esterne**, il momento meccanico*** calcolato rispetto all'origine O è dato da (vedi il post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)"):

M=r₁xF₁+r₂xF₂.

Inoltre se calcoliamo il momento rispetto ad un diverso punto P otteniamo:

M_P=(r₁-r_P)xF₁+(r₂-r_P)xF₂

essendo (r₁-r_P) e (r₂-r_P) i vettori di posizione che individuano i punti di applicazione delle forze F₁ e F₂ rispetto a P (indicato da r_P). Perciò svolgendo i prodotti vettoriali si ottiene:

M_P=M-[r_Px(F₁+F₂)]

da cui si ricava l'importante risultato che per un corpo in equilibrio traslazionale (cioè se F^ext=F₁+F₂=0) il momento meccanico delle foze non dipende dal punto rispetto al quale è stato calcolato, risultando: M_P=M (per qualsiasi numero di particelle).

(*) Tuttavia le considerazioni che seguono valgono anche per un moto traslatorio accelerato del riferimento del centro di massa, infatti le trasformazioni delle velocità restano invariate dato che i versori (i, j e k) del riferimento accelerato sono costanti; si ricordi difatti che in generale risulta:

ds/dt=d(ix+jy+kz)/dt=v+(xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt).

(Viceversa per un sistema rotante le derivate dei versori non sono nulle).
(**) Si ricordi che le forze interne non influiscono sul moto del sistema (cioè sul centro di massa); infatti per il principio di azione e reazione le interazioni tra due particelle qualsiasi sono uguali ed opposte e agiscono sulla stessa retta d'azione (quindi si annullano tra loro) ed è perciò nullo anche il loro momento (poiché la coppia di forze ha braccio nullo). 
(***) Come abbiamo visto nel post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)" dal momento angolare L si può derivare il momento meccanico del sistema cioè M=dL/dt (rispetto ad un punto fissato Ω).

Inoltre, come avevamo mostrato, se il punto Ω è in moto con velocità V_Ω la seconda equazione cardinale della dinamica dà: M=dL/dt+V_ΩxP dove P=Mv_cm è la quantità di moto del sistema; perciò solo se Ω è fisso (V_Ω=0) oppure se V_Ω è parallelo a v_cm allora M=dL/dt (essendo V_ΩxP=0).

L'equazione del Razzo!

È noto che "la terza legge della dinamica formulata da Isaac Newton nel 1687 è il principio fondamentale che permette di descrivere il movimento di un razzo a reazione poiché essa afferma che: ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria" (vedi Wikipedia).

Nota: sulla terza legge di Newton vedi il post "Il Principio di Azione<=>Reazione".

Inoltre è utile ricordare, prima di derivare l'equazione dinamica del razzo, che in assenza di forze esterne "questo principio stabilisce che in un sistema di particelle la quantità di moto totale P rimane costante, ovvero la sua derivata nel tempo è nulla: dP/dt=0".

Proviamo innanzitutto a dimostrare quest'ultima affermazione:
"Si supponga di avere un sistema costituito da un numero N di punti materiali di massa m_i e velocità v_i. La quantità di moto totale del sistema è data da

P=m₁v₁+m₂v₂+...+m_Nv_N.

Ora se si deriva P rispetto al tempo, supponendo che la massa dei singoli punti sia costante, si trova:

dP/dt=m₁dv₁/dt+m₂dv₂/dt+...+m_Ndv_N/dt=F^ext+F^int=0.

Infatti risulta rispettivamente:

F^ext=0

poiché la risultante delle forze esterne è nulla per ipotesi e inoltre:

F^int=∑_k≠j(F_kj+F_jk)=0

essendo la somma delle forze interne nulla per il terzo principio della dinamica, poiché un corpo k che esercita una forza F_kj sul corpo j è anch'esso sottoposto ad una forza F_jk uguale di modulo e direzione ma di verso opposto" (vedi Wikipedia).
Nota: abbiamo posto F=dP/dt=F^ext+F^int poiché la variazione della quantità di moto di un sistema di particelle è dovuta alla risultante di tutte le forze applicate su di esso (si generalizza così la seconda legge di Newton).

Si conclude perciò che, per il terzo principio della dinamica (da cui segue F^int=0), la quantità di moto totale del sistema deve restare costante (se siamo in assenza di forze esterne) risultando dP/dt=0 (cvd).
Nota: è chiaro che se le forze esterne non sono nulle risulta, per un sistema qualsiasi di particelle: F^ext=dP/dt.

Ora, come applicazione del principio di azione e reazione, supponiamo di avere un razzo di massa totale m (che può essere considerato come un sistema rigido di particelle + il suo carburante variabile) che si muove all'istante t con una velocità v e quindi con una quantità di moto:

 p(t)=mv

dal quale viene poi emessa (all'istante t+dt) una quantità di massa dm (cioè una particella infinitesima di carburante sotto forma di gas)* ad una velocità v_c (sempre rispetto al sistema inerziale prescelto).

Allora il razzo, dopo l'espulsione, varia la sua velocità (proprio per reazione all'azione del gas espulso) di una quantità dv acquisendo cioè una velocità:

v'=v+dv.

Perciò al tempo t+dt la quantità di moto totale è (rispettivamente del razzo più quella della massa dm espulsa):

 p'(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dmv_c

da cui segue che nel tempo dt la variazione di quantità di moto totale del sistema è 

dP=p'(t+dt)-p(t)=(m-dm)(v+dv)+dmv_c-mv=mdv+(v_c-v)dm

avendo trascurato il prodotto dmdv (che è un infinitesimo di ordine superiore).

Dobbiamo però osservare che essendo m(t+dt)<m(t) (poiché la massa del razzo diminuisce col tempo) segue che dm=m(t+dt)-m(t)<0 è una quantità di massa negativa e quindi è corretto scrivere (cambiando segno a dm): 

dP=mdv-(v_c-v)dm.

Perciò otteniamo, in presenza di forze esterne F^ext applicate al sistema** (come la gravità, la resistenza dell'aria, etc.), l'equazione dinamica del razzo:

 F^ext=dP/dt=mdv/dt-v_edm/dt

dove v_e=v_c-v rappresenta la velocità costante di espulsione del carburante (sotto forma di gas) rispetto al razzo.
Nota: la velocità di espulsione v_e è un parametro caratteristico del razzo ed è supposta costante.

Quindi se consideriamo solo la forza di gravità (trascurando l'attrito dell'aria e supponendo che l'accelerazione di gravità g sia costante) avremo: 

F^ext=-mg 

dove il segno meno indica che la forza di gravità si oppone al moto verticale del razzo.

Se perciò consideriamo il moto verticale del razzo l'equazione differenziale diventa (posto F^ext=-mg e moltiplicando per dt/m l'equazione prima ricavata):

-gdt=dv+v_e(dm/m)

dove si è tenuto conto che il vettore v_e ha segno opposto rispetto a dv.
Integrando dal tempo iniziale t₀ fino a t (e quindi integrando i termini del secondo membro, rispettivamente, dalla velocità iniziale v₀ a quella finale v(t) e dalla massa iniziale m₀ a quella residua m(t)) si ottiene la velocità del razzo:

v(t)=v₀+v_eln(m₀/m(t))-gt.

Ciò significa che la velocità del razzo v(t) dipende da quella dei gas espulsi v_e e dalla massa m(t) di combustibile residuo al tempo t; mentre l'accelerazione di gravità g si oppone ad essa.

Infine, per chiarire meglio il significato fisico dell'equazione dinamica del razzo, osserviamo che per un sistema di N particelle (nel nostro caso quello complessivo del razzo+combustibile dove la massa totale resta invariata) possiamo definire la quantità di moto totale ad un certo istante come:

P=m₁v₁+m₂v₂+...+m_Nv_N=mv_cm

dove m=m₁+m₂+...+m_N è la massa totale mentre

v_cm=dr_cm/dt

è la velocità del centro di massa del sistema definito come

r_cm=(m₁r₁+m₂r₂+...+m_Nr_N)/m.

Quindi l'accelerazione del centro di massa a_cm=dv_cm/dt è dovuta alla risultante delle forze esterne che agisce sul centro di massa (si ricordi che la risultante delle forze interne è nulla) infatti:

F^ext=mdv_cm/dt=m₁dv₁/dt+m₂dv₂/dt+...+m_Ndv_N/dt=F₁+F₂+...+F_N.

Nota: questa equazione è la prima equazione cardinale della dinamica che generalizza la seconda legge di Newton per un sistema a più particelle.

Perciò nel caso del nostro sistema (razzo+combustibile) avremo, quando il razzo è in orbita in assenza di gravità:

 F^ext=dP/dt=dmv_cm/dt=0.

Da ciò segue subito che la velocità del centro di massa del sistema deve restare costante nel sistema di riferimento prescelto (cioè risulta v_cm=costante essendo la massa complessiva m=costante); tuttavia il razzo può variare la sua quantità di moto poiché questa viene controbilanciata ad ogni istante dalla fuoriuscita di carburante (in modo che la quantità di moto totale risulti P=costante).

Più esattamente posto dP/dt=0 risulta dall'equazione del razzo prima ricavata***:

mdv=v_edm.

dove m è la massa complessiva e v_e la velocità del gas vista dal razzo.

(*) In pratica stiamo considerando un tasso di decremento costante della massa: dm/dt=costante; possiamo ad esempio porre m(t)=m₀-kt in modo che m(0)=m₀ e dm/dt=-k.

(**) È implicito che la forza esterna si intende applicata al centro di massa di tutto il sistema (cioè razzo+combustibile) come vedremo di seguito.
(***) Si osservi che l'equazione del moto del razzo: F^ext=mdv/dt-v_edm/dt è espressa in modo diverso dalla seconda legge di Newton per un sistema a massa variabile: F^ext=mdv_cm/dt+v_cmdm/dt poiché qui v_cm si riferisce al centro di massa del sistema (vedi il post "Un problema di massa variabile").

Sistemi in Equilibrio (meccanico)

Partiamo come al solito dalla definizione di Wikipedia; questa volta da quella di equilibrio meccanico:
"In fisica si dice che un sistema (un corpo puntiforme, un insieme di particelle, un corpo rigido, etc.) è in equilibrio meccanico quando la sommatoria di tutte le forze esterne e quella di tutti i momenti meccanici esterni risultano nulli".

In formule deve cioè risultare:

F^ext=0

M^ext=0

dove F^ext e M^ext rappresentano rispettivamente la risultante delle forze esterne e quella dei momenti meccanici applicati al sistema*.

In particolare si osservi che:

"La prima equazione determina l'equilibrio traslazionale del sistema, in quanto, per la seconda legge di Newton, implica che l'accelerazione del centro di massa** sia nulla. La seconda invece determina l'equilibrio rotazionale del sistema, perché implica che il momento angolare sia costante, per la seconda legge cardinale" (come vedremo di seguito).

Risulta perciò evidente come non sia sufficiente, affinché il sistema sia in equilibrio meccanico, che la forza risultante (cioè la somma vettoriale F^ext di tutte le forze applicate al sistema) sia nulla; infatti il sistema potrebbe ruotare in modo accelerato, per esempio intorno al proprio centro di massa in quiete (o con velocità costante), e quindi non essere in equilibrio meccanico risultando M^ext≠0.

Ma vediamo la definizione di Momento Meccanico (o momento della forza):
"Il momento meccanico, indicato con M o anche in ambito anglosassone con τ, è la tendenza di una forza a imprimere una rotazione ad un oggetto attorno ad un punto o ad un asse" (vedi Wikipedia).
Formalmente si ha che "il momento meccanico polare rispetto ad un determinato punto Ω detto polo o centro di riduzione è definito in meccanica newtoniana come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione (rispetto al polo stesso) e la forza: 

M=rxF

dove r è il vettore di posizione della forza F rispetto al punto Ω fissato".
Nota: si può dimostrare (vedi il post "Cos'è il Vettore di Posizione?") che se il sistema è in equilibrio traslazionale (cioè se è verificata la prima condizione di equilibrio F^ext=0) allora il momento risultante è lo stesso per qualsiasi punto Ω fissato (ad esempio il centro di massa).

Inoltre essendo per definizione di forza:

F=dp/dt

dove p=mv è la quantità di moto e v è la velocità impressa alla particella di massa m, segue immediatamente per derivazione (se m è costante):

M=dl/dt

dove l=rxp è per definizione il momento angolare della particella.
La dimostrazione è immediata, infatti derivando dl/dt risulta:

d(rxmv)/dt=(dr/dt)xmv+rxmdv/dt=vxmv+rxF=M  

essendo vxmv=0 (il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo).

Questa ultima relazione rappresenta la seconda equazione cardinale del sistema (ma solo quando la velocità del polo è nulla o parallela alla quantità di moto della particella)***.
Nota: se il sistema è formato da più particelle allora il momento angolare totale L è dato dalla somma vettoriale di tutti i momenti applicati alle particelle del sistema (rispetto allo stesso punto) e ciò vale anche per il momento meccanico totale M.

Si ricordi che il moto di un sistema di particelle si può descrivere, in generale, come il moto v_cm=dr/dt del centro di massa r, sommato a quello rotatorio descritto dal momento angolare L del sistema rispetto al proprio centro di massa, il cui riferimento può essere inerziale o traslatorio accelerato (quindi anche circolare ma non rotatorio, vedi la nota sotto) come meglio descritto nel post "Cos'è il Vettore di Posizione?".

Nota: se il sistema di riferimento del centro di massa è rotante allora si deve considerare anche la variazione dei suoi versori (i(t), j(t) e k(t)), risultando in generale: ds/dt=d(ix+jy+kz)/dt=v+(xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt).

Perciò nel caso statico in cui la velocità di traslazione del centro di massa è nulla (v_cm=0) e anche il momento angolare totale è nullo (L=0) il sistema sarà, per definizione, in equilibrio statico (essendo ovviamente soddisfatte le relazioni prima introdotte di equilibrio meccanico).

Tuttavia il sistema può anche trovarsi in uno stato di moto costante (v_cm=costante) e di momento angolare totale costante (L=costante) per poter essere definito in equilibrio meccanico (poiché in questo caso forza e momento applicati al sistema sono nulli).

Consideriamo ad esempio il caso del sistema orbitante Terra-Sole in assenza di perturbazioni. In questo caso le forze esterne sono nulle e quelle interne sono forze centrali e quindi, per definizione, F è sempre parallela al raggio r (che è applicato nel centro di massa del sistema); da ciò segue M=rxF=0 cioè il sistema è in equilibrio meccanico (ed L è una costante del moto poiché M=dL/dt=0).
Nota: poiché l'equilibrio è traslazionale (cioè F^ext=0), il momento M totale è nullo per qualsiasi punto Ω fissato e non solo per il centro del sistema.

Si osservi perciò come il significato fisico di sistema in equilibrio sia correlato al principio di conservazione della quantità di moto (F^ext=dP/dt=0) e alla conservazione del momento angolare del sistema (M^ext=dL/dt=0).

Nota: è ovvio che per un sistema isolato le condizioni di equilibrio sono sempre soddisfatte (come nell'esempio prima descritto).

(*) Le forze interne non influiscono sul moto del centro di massa del sistema; infatti per la terza legge di Newton, le interazioni tra due particelle qualsiasi sono uguali ed opposte e agiscono sulla stessa retta d'azione (quindi si annullano tra loro) ed è ovviamente nullo anche il loro momento (poiché tutte le coppie di forze interne hanno braccio nullo).
(**) Ricordiamo che "il centro di massa di un sistema ha lo stesso moto di un singolo punto materiale in cui è concentrata tutta la massa, e su cui agisce la risultante delle sole forze esterne agenti sul sistema" (vedi Wikipedia); ciò discende da un principio fondamentale della dinamica dei sistemi: la prima equazione cardinale (vedi il post "L'equazione del Razzo!").
(***) Per tener conto dell'eventuale moto del punto Ω (indicato da r_Ω) rispetto al quale viene calcolato il momento meccanico, riscriviamo il vettore di posizione r della forza rispetto a Ω come r=r'-r_Ω (dove r' indica la posizione della forza rispetto all'origine del riferimento).
Si può così generalizzare la seconda equazione cardinale (posto l=rxmv):
d(rxmv)/dt=(d(r'-r_Ω)/dt)xmv+rxmdv/dt=vxmv-V_Ωxmv+rxF (con v=dr'/dt e V_Ω=dr_Ω/dt) perciò M=rxF=dl/dt+V_Ωxp (essendo vxmv=0).