Potenza e Coppia in... bicicletta!

Diamo innanzitutto la definizione di Potenza in fisica (vedi Wikipedia):
"La potenza è definita come il lavoro L compiuto nell'unità di tempo t, ovvero come la sua derivata temporale:

P=dL/dt.

In base al principio di uguaglianza tra lavoro ed energia, la potenza misura la quantità di energia scambiata nell'unità di tempo, in un qualunque processo di trasformazione, meccanico, elettrico, termico o chimico che sia".
Nota: per la relazione tra lavoro ed energia vedi il post "E se le forze non sono conservative?".

Se ricordiamo che per definizione il lavoro infinitesimo è dL=Fds dove F è la forza applicata ad un corpo che si sposta lungo un tratto infinitesimo ds (vedi il post "E se le forze non sono conservative?") allora avremo la seguente relazione:

P=Fds/dt=Fv

dove v=ds/dt è la velocità istantanea del corpo in moto.

Ora passiamo alla definizione di coppia motrice (vedi Wikipedia):
"La coppia motrice è il momento meccanico applicato dal motore a una trasmissione. Essa varia al cambiare del regime di rotazione del motore con un andamento dipendente dal tipo di motore e ha un valore massimo in corrispondenza di un determinato regime".
Nota: ricordiamo che il momento meccanico è definito come M=rxF dove r è il vettore di posizione della forza F rispetto ad un punto Ω fissato (vedi il post "Sistemi in equilibrio (meccanico)".

Quindi se ad esempio applichiamo una forza motrice orizzontale F in corrispondenza del perno di una ruota posta in verticale sopra un piano (ad esempio quella di una bicicletta di raggio r) si avrà un momento meccanico:

M=rxF

rispetto al punto di contatto col terreno (inoltre risulta M=rF essendo forza F e braccio r perpendicolari) e la ruota girerà (grazie all'attrito che le impedisce di scivolare)* con una velocità angolare:

w=2π/T 

(dove T è il periodo di rotazione) mentre la bicicletta si sposterà con una velocità:

v=wxr

essendo T=2πr/v (in particolare v=wr poiché w è perpendicolare a r).

Nota: la velocità dipende anche da altri elementi, che abbiamo trascurato, come la forza di attrito dell'aria (dovuta al veicolo+ciclista), l'attrito di rotolamento delle ruote, la pendenza della strada, etc.

Calcoliamo allora la potenza alla ruota quando il veicolo è in moto** (ricordando che F e v hanno la stessa direzione):

P=Fv=(M/r)(wr)=Mw

perciò la potenza, nel caso generale di un veicolo su ruote, dipende dal momento meccanico M (cioè dalla coppia motrice) e dalla velocità angolare w della ruota.
Nota: poiché per ipotesi la ruota gira senza strisciare, il punto di contatto col terreno esercita un attrito statico (cioè senza spostamento) e quindi la forza di attrito non compie lavoro.

Da questa equazione risulta evidente come, a parità di potenza, si possa aumentare la coppia M (che esprime la forza motrice F=M/r) diminuendo però la velocità angolare w (e quindi la velocità di spostamento v=wr).

Inoltre grazie al cambio delle marce, che modifica il rapporto di trasmissione, è possibile variare la velocità angolare w della ruota motrice mantenendo inalterata quella del motore (o dei pedali del ciclista) in modo da rendere costante il suo rendimento*** (vedi la tabella di Wikipedia). 
Nota: i motori elettrici, che hanno un rendimento praticamente costante, non hanno bisogno di marce.

(*) In effetti dobbiamo considerare una coppia di forze uguali e contrarie: una si esercita sul perno della ruota mentre l'altra, grazie all'attrito, si esercita sul punto di contatto della ruota col terreno (altrimenti la ruota scivolerebbe); il risultato complessivo del momento è di nuovo M=rF essendo r il braccio della coppia (vedi il post "Una coppia di Forze").
(**) Se trascuriamo le perdite dovute alla trasmissione meccanica, allora la potenza espressa alla ruota è la stessa di quella prodotta dalla forza motrice del motore (o dai muscoli del ciclista).
(***) Quasi tutti i motori (esclusi quelli elettrici) esprimono una coppia massima, e quindi una potenza massima, in funzione di una determinata velocità angolare.

Un gioco di... vettori!

Tracciamo un vettore, di colore blu, su un foglio di carta millimetrata come indicato nella seguente figura:

Si noti che il vettore blu disegnato in figura rappresenta l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha una base di 4 mm e un'altezza di 2 mm quindi il suo modulo (per il teorema di Pitagora) è pari alla radice quadrata di 20 (cioè circa 4,5 mm).
Nota: per ricavare l'angolo di inclinazione θ (rispetto alla base) basta osservare che tanθ=altezza/base=0,5 da cui si ottiene θ≈27 gradi.

Supponiamo che questo vettore indichi lo spostamento (dal punto di applicazione alla punta del vettore), di una automobile che procede a velocità costante, nell'arco diciamo di un secondo; quindi la sua velocità sarà pari a circa 4,5 mm al secondo (o anche v≈4,5x60x60/1000≈16 metri/ora).

Per rendere la cosa più interessante, dato che stiamo parlando di un'auto sportiva, cambiamo scala e supponiamo che il lato di ogni quadretto indichi 10 metri di spostamento, da cui otteniamo per la velocità dell'auto:

v≈45x60x60≈160 Km/ora.

Nota: come vedremo la velocità dell'auto, definita dalla lunghezza del vettore, può cambiare ogni secondo.

Si osservi che se l'automobile non modifica la sua velocità, dopo un secondo il vettore in rosso indicherà la sua nuova posizione, avendo percorso altri 45 metri circa nella stessa direzione (e così via secondo dopo secondo).

Ora per il moto dell'auto, che come abbiamo detto è rappresentato dallo spostamento dei vettori, stabiliamo alcune semplici regole:
1) supponiamo che il nostro vettore rappresenti sia la velocità v di una automobile che si muove nello spazio, ma anche lo spazio s percorso dall'auto ad ogni secondo, cioè s=v∆t (dove ∆t=1 secondo);
2) ad ogni secondo l'automobile può accelerare oppure decelerare o ancora cambiare direzione semplicemente scegliendo uno degli 8 punti vicini a quello indicato dalla freccia in rosso (come indicato in figura dai vettori in verde)*.

A questo punto se tracciamo una linea di partenza, definiamo un numero di giri da compiere lungo un percorso prestabilito e permettiamo ad altre auto/vettori di partecipare alla gara... il gioco è fatto!

Nota: per approfondimenti sul gioco dei vettori, le regole e le sue origini storiche vedi Wikipedia; è anche possibile scaricare una App per iOS, tuttavia il gioco con carta millimetrata e matita è molto più appassionante!

(*) Se la velocità v(t) cambia da quella iniziale v_i a quella finale v_f nel tempo ∆t=1 allora, se vogliamo che s=v_f∆t deve risultare s=∫v(t)dt=v_f∆t; ciò significa che la variazione di v(t) è istantanea (o che v(t) aumenta e diminuisce in ∆t passando almeno una volta per v_f per il teorema della media).

Il concetto fisico di Derivata

Prima di introdurre la definizione di derivata è indispensabile ricordare quello di funzione:
"In matematica, una funzione, anche detta applicazione, mappa o trasformazione, è definita dai seguenti oggetti:

• Un insieme X detto dominio della funzione f.
• Un insieme Y detto codominio della funzione f.
• Una relazione che ad ogni elemento x dell'insieme X associa uno ed un solo elemento y dell'insieme Y, indicandolo con f(x).

Si dice che x è l'argomento della funzione, o un valore della variabile indipendente; mentre y o f(x) è un valore della variabile dipendente della funzione" (vedi Wikipedia).
Nota: in questo post consideriamo solamente funzioni reali di variabili reali.

A questo punto la definizione di derivata è immediata:
"In matematica, la derivata è la misura di quanto il valore di una funzione cambi al variare del suo argomento" (vedi Wikipedia). Il problema è quindi quello di calcolare, in generale, il valore di questa variazione.

Ma andiamo per gradi e cominciamo ad introdurre il rapporto incrementale di una funzione (con riferimento alla figura che segue):

"Sia f(x) una funzione reale nella variabile reale x; si definisce incremento della funzione (o della variabile dipendente) attorno al punto di ascissa x₀ la quantità

∆f(x₀)=f(x₀+h)-f(x₀)

per una fissata quantità h diversa da zero; si definisce incremento della variabile indipendente la corrispettiva quantità

∆x=(x₀+h)-(x₀)=h.

Si definisce quindi rapporto incrementale della funzione attorno a x₀ e rispetto all'incremento h il numero reale:

∆f(x₀)/∆x=[f(x₀+h)-f(x₀)]/h

cioè il rapporto degli incrementi" (vedi Wikipedia).

Ora si osservi che è possibile definire una retta secante y(x) che interseca il grafico della funzione f(x) nei punti di ascissa x₀ e x₀+h; come è facile mostrare* l'equazione di questa retta è:

y(x)=f(x₀)+[∆f(x₀)/∆x](x-x₀)

da cui risulta evidente che il rapporto incrementale ∆f(x₀)/∆x prima definito, rappresenta il coefficiente angolare della retta secante come illustrato in figura (dove compare x invece di x₀):

A questo punto è facile notare che se si fa tendere h-->0 allora la retta secante tende a coincidere con la tangente al grafico della funzione nel punto x₀ ed in particolare avremo**:

df(x₀)/dx=lim_h-->0[f(x₀+h)-f(x₀)]/h.

Quindi il rapporto incrementale calcolato dal limite df(x₀)/dx rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente nel punto x₀.

Nota: si osservi che il coefficiente angolare m (vedi nota*) coincide con il valore della tangente dell'angolo α formato dalla retta tangente con l'asse X cioè m=∆f(x₀)/∆x=sinα/cosα quindi df(x₀)/dx=tanα (vedi Wikipedia).
(Qui trovi un esempio di come può variare la derivata di una funzione)

Possiamo perciò affermare che il coefficiente angolare, e quindi la derivata di una funzione, misura in che modo varia la funzione in quel punto.
Nota: non sempre il coefficiente angolare di una funzione può essere definito, cioè non è detto che il limite che definisce la derivata esista (ad esempio se la funzione non è continua in quel punto).

Se osserviamo che quasi tutte le grandezze fisiche dipendono da altre grandezze o parametri, il significato fisico della derivata è proprio quello di definire in che modo varia una grandezza fisica rispetto alla sua variabile correlata (ma ciò è vero solo se questa grandezza può essere espressa da una funzione continua e derivabile)***.
Nota: naturalmente una grandezza fisica può dipendere da più variabili; il concetto di derivata si può in effetti estendere a più variabili.

(*) In generale una retta è definita dall'equazione: y(x)=q+m(x-x₀) dove m è il coefficiente angolare mentre il termine (x-x₀) impone la condizione y(x₀)=q per x=x₀; nel nostro caso risulta in particolare q=f(x₀) e m=∆f(x₀)/∆x essendo y(x)=f(x₀)+[∆f(x₀)/∆x](x-x₀).
(**) La notazione df(x₀)/dx è stata introdotta da Leibniz nel 1675 ca. e i simboli df(x₀) e dx indicano i rispettivi valori infinitesimi (cioè entità numeriche infinitamente piccole).
(***) La condizione di continuità di una funzione è necessaria ma non sufficiente per la derivabilità; ad esempio la funzione a valore assoluto f(x)=|x| è continua ma non derivabile nel punto x₀=0 (poiché il limite calcolato per x>0 è diverso da quello calcolato per x<0).
(Vedi anche la definizione di funzione continua su Wikipedia)

La composizione del moto!

Come cercheremo di mostrare in questo post, è proprio vero che (come si legge su Wikipedia): "La più importante conseguenza delle trasformazioni galileiane è la composizione delle velocità".

Per chiarire questa affermazione e il suo significato fisico cominciamo col ricordare che "in fisica, una trasformazione galileiana è un insieme di leggi che descrivono il legame tra le coordinate di un oggetto in due sistemi di riferimento cartesiani diversi, l'uno in moto rettilineo uniforme rispetto all'altro, nell'ipotesi che le velocità in gioco siano molto inferiori alla velocità della luce" (vedi Wikipedia).

È infatti noto che per indicare le posizioni e le velocità di un oggetto rispetto a due diversi sistemi di riferimento si può usare il formalismo dei vettori (essendo posizione e velocità in ambito classico delle grandezze vettoriali).

Se ad esempio abbiamo due osservatori O₁ e O₂ in moto relativo uniforme (per ipotesi coincidenti con l'origine di due sistemi inerziali*), che misurano la posizione di un oggetto P in tempi successivi, possiamo scrivere (utilizzando la somma vettoriale):

P₁(t)=P_1-2(t)+P₂(t)

dove P₁(t) indica la posizione dell'oggetto in moto P e P_1-2(t) è la posizione dell'osservatore in moto O₂ (entrambi visti da O₁) mentre P₂(t) indica l'oggetto P visto da O₂ come indicato in figura:

Nota: il vettore P è detto vettore di posizione: vedi il post "Cos'è il Vettore di Posizione?".

A questo punto è facile ottenere, per derivazione, la relazione vettoriale tra le diverse velocità**:

v₁(t)=dP₁(t)/dt=v_1-2(t)+v₂(t)

ed inoltre, considerando che i due osservatori sono in moto rettilineo uniforme (cioè v_1-2(t)=costante), risulterà:

a₁(t)=dv₁(t)/dt=d[v_1-2(t)+v₂(t)]/dt=a₂(t)

cioè l'oggetto P ha la stessa accelerazione rispetto ad entrambi i riferimenti*** (essendo dv_1-2(t)/dt=0).
Nota: si osservi che le trasformazioni galileane (che definiscono le coordinate cartesiane dell'oggetto P rispetto a O₁ oppure O₂) sono implicite nella relazione vettoriale esposta sopra: P₁(t)=P_1-2(t)+P₂(t).

Possiamo verificare sperimentalmente che le relazioni ottenute prima sono vere e che la composizione vettoriale dei moti ha un effettivo significato fisico (almeno per v<<c).

Ciò significa che, stabilito il carattere vettoriale del moto, possiamo trattare lo spostamento di un corpo, rispetto a sistemi di riferimento diversi, considerando la sua scomposizione in vettori (come visto sopra).

Facciamo subito un esempio.

È noto che un corpo P cade per effetto gravitazionale in assenza della resistenza dell'aria (lungo l'asse verticale Y) con una velocità:

v_y(t)=gt

dove g è l'accelerazione gravitazionale, costante in prossimità del suolo.
Integrando possiamo ottenere il suo spostamento lungo Y ad ogni istante, partendo da un punto fissato y(0)=0:

y(t)=(1/2)gt².

Supponiamo che il corpo P oltre a cadere lungo Y, venga anche sparato come un proiettile lungo l'asse orizzontale X nello stesso istante t=0 (con x(0)=0) ad una velocità v_x costante; si avrà perciò uno spostamento:

x(t)=v_xt.

Possiamo quindi comporre il moto di y(t) e x(t) lungo gli assi X e Y ottenendo per lo spostamento P(t) del proiettile:

P₁(t)=iv_xt+j(1/2)gt²

dove i e j sono i versori degli assi X e Y rispettivamente.

Nota: se sostituiamo il valore di t=x/v_x in y(t) prima ricavato si ha y(x)=(1/2)g(x/v_x)²=kx² che definisce il moto a parabola di un proiettile, essendo il termine k=(1/2)g(1/v_x²) una costante.

Ora ci chiediamo: come viene osservato il moto di P da un osservatore O₂ che, per esempio, si muove lungo X a velocità v_x uguale a quella del proiettile (con le stesse condizioni iniziali: x(0)=0 e y(0)=0)?

Per rispondere a questa domanda usiamo la composizione del moto. Se indichiamo con P_1-2(t) la posizione di O₂ rispetto a O₁ risulta:

P_1-2(t)=iv_xt.

Perciò, componendo i vettori di posizione (come visto sopra), si ha P₁(t)=P_1-2(t)+P₂(t) da cui possiamo subito ricavare P₂(t) che indica la posizione del proiettile rispetto a O₂:

P₂(t)=P₁(t)-P_1-2(t)=j(1/2)gt².

Ciò in pratica significa che l'osservatore in moto O₂ vede precipitare sotto di lui, in linea retta, il proiettile lanciato da O₁ (con velocità v_y(t)=gt).

È noto che quanto visto sopra per la composizione dei moti non vale più quando si devono sommare alte velocità prossime a quelle di un'onda elettromagnetica (poiché non è più possibile effettuare misure simultanee in entrambi i riferimenti); in questo caso alle trasformazioni di Galileo (valide solo per velocità minori di c) si devono sostituire quelle di Lorentz (valide per qualsiasi velocità) e al posto dei vettori si usano i quadrivettori.

Nota: per una breve introduzione alla teoria della Relatività speciale vedi il post "La Relatività ristretta o... speciale!"

(*) Per chiarire il significato fisico di sistema inerziale vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale".

(**) Le trasformazioni delle velocità restano invariate anche quando il sistema di riferimento di O₂ è traslatorio accelerato poiché i suoi versori (i, j e k) rispetto a O₁ sono comunque costanti; si ricordi infatti che in generale risulta: dP/dt=d(ix+jy+kz)/dt=v+(xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt).

(Viceversa per un sistema rotante le derivate dei versori non sono più nulle).
(***) Si osservi che con il solo uso dei vettori di posizione abbiamo in pratica ottenuto il principio di relatività galileiano secondo cui le leggi della meccanica, e quindi la dinamica dei corpi, sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali (dato che le accelerazioni restano invariate).

Rotazioni angolari: vettoriali?

Facciamo prima un semplice esperimento e poi vediamo in dettaglio il suo significato fisico.

Prendiamo un libro, poniamolo sulla nostra scrivania (sdraiato sul piano orizzontale) e facciamolo ruotare di due angoli successivi:
-> prima di un angolo α=90° intorno all'asse verticale passante per il centro del libro (in senso orario visto dall'alto);
-> poi di un angolo β=90° intorno all'asse orizzontale passante per il centro del libro (in senso orario fissato un verso dell'asse).
Osserviamo quindi la posizione esatta del libro a cui ci ha condotto la rotazione consecutiva dei due angoli (cioè l'operazione α+β).
Nota: con α e β indichiamo sia gli angoli che le relative operazioni di rotazione, il cui uso è reso chiaro dal contesto.

Ora proviamo a fare le stesse operazioni di rotazione ma invertendo l'ordine, cioè prima applichiamo al libro la rotazione dell'angolo β e poi quella dell'angolo α. Con nostra sorpresa arriveremo ad una posizione finale diversa del nostro libro, da cui si può dedurre che in generale:

α+β≠β+α .

Nota: ciò in pratica significa che le operazioni di rotazione non obbediscono alla legge commutativa della somma.

La prima deduzione che possiamo trarre dal nostro esperimento è che le rotazioni angolari non possono essere considerate come se fossero dei vettori, poiché sappiamo che per essi vale la proprietà commutativa della somma.

Tuttavia ripetiamo l'esperimento per angoli diversi, più piccoli di 90°; ad esempio prima per 45° poi per 30° ed infine per soli 10°.

Se eseguiamo con precisione ogni rotazione e prendiamo nota della posizione iniziale e finale del libro, ci accorgiamo che man mano che gli angoli diventano sempre più piccoli, in pratica non si osservano differenze nel risultato finale (una volta invertito l'ordine delle rotazioni); perciò per piccoli angoli risulta:

α+β≈β+α

relazione sempre meno approssimata quanto minori sono gli angoli di rotazione.

In particolare deduciamo che se gli angoli sono infinitesimi (cioè se prendiamo dα e dβ) possiamo scrivere:

dα+dβ=dβ+dα

e quindi è corretto affermare che rotazioni angolari infinitesime possono essere rappresentate da vettori: basta infatti associare l'ampiezza elementare dell'angolo alla lunghezza del vettore e stabilire una direzione e un verso legato alla rotazione (ad esempio usando la regola della mano destra).

Questo non è un risultato di poco conto poiché ciò significa che altre grandezze fisiche, definite in termini di rotazioni angolari infinitesime, possono essere trattate a tutti gli effetti come dei vettori.

Prendiamo ad esempio la velocità angolare istantanea così definita:

w=dα/dt

che come è noto è rappresentata da un vettore; ma anche per l'accelerazione angolare si ha

a=dw/dt 

poiché la derivata di un vettore è a sua volta un vettore*.
Nota: invece la velocità angolare media w=∆α/∆t non può essere definita come un vettore poiché non dipende da una rotazione angolare infinitesima.

Ciò significa che in tutti questi casi, una volta associato il modulo della grandezza fisica alla lunghezza del vettore e stabiliti una direzione e un verso legato alla rotazione**, possiamo utilizzare tutto l'apparato formale dei vettori per trattare le grandezze vettoriali considerate.

(*) Se definiamo il vettore w(t)=iw_x(t)+jw_y(t)+kw_z(t) allora dw/dt=idw_x/dt+jdw_y/dt+kdw_z/dt=a è il vettore dell'accelerazione angolare; in particolare se w=cost. (ma dw/dt≠0) segue a_|_w: infatti se w²=ww=cost. allora dww/dt=wdw/dt+wdw/dt=0 e quindi wdw/dt=0).
(**) Ad esempio nel caso della velocità angolare istantanea il relativo vettore è definito lungo l'asse di rotazione e il verso determina il senso della rotazione, secondo la regola della mano destra (vedi Wikipedia).

La Delta di Dirac

Diamo subito la definizione della famosa delta di Dirac:
"Introdotta da Paul Dirac, anche se già presente nei lavori di Oliver Heaviside, è una funzione generalizzata che dipende da un parametro reale in modo tale che sia nulla per tutti i valori del parametro ad eccezione dello zero, ed il suo integrale sul parametro tra -∞ e +∞ sia pari a 1".
(Per tutti i dettagli vedi Wikipedia).

Ed ecco il grafico della delta di Dirac (come si vede non è propriamente una funzione, infatti nel punto x=0 non è ben definita ma tende a infinito)*:

 

Come si può intuire dal grafico, la delta di Dirac "viene utilizzata per rappresentare approssimativamente fenomeni come i picchi alti e stretti di alcune funzioni o le loro discontinuità: è lo stesso tipo di astrazione che si fa per la carica puntiforme, la massa puntiforme o l'elettrone puntiforme" (vedi Wikipedia).
Nota: in realtà la delta di Dirac non è propriamente una funzione ma una distribuzione che generalizza il concetto di funzione (vedi Wikipedia).
(Vedi anche l'ottima lezione di Marco Codegone sulle Distribuzioni)

Ma passiamo ora alla parte formale della definizione:
"Formalmente la delta di Dirac δ(x) viene definita dalla seguente notazione:

valida per ogni funzione continua ø(x) in un intorno dello zero" (vedi Wikipedia).
Nota: pur utilizzando il simbolo dell'integrale, l'operazione non è propriamente di integrazione, ma di applicazione del funzionale δ(x) alla funzione test ø(x).

In breve la funzione impropria δ(x) gode delle due seguenti proprietà:

δ(x)=0   per   x≠0

cioè δ(x) è sempre nulla tranne che in x=0 dove tende a infinito e inoltre:

cioè l'integrale di δ(x) è uguale a 1 se il punto x=0 è contenuto nell'intervallo di integrazione, altrimenti è nullo.

Nota: nell'integrale sopra compare per comodita la variabile t al posto di x ma nulla è cambiato.

Per mostrare il suo significato fisico vediamo una semplice applicazione; consideriamo cioè una massa puntiforme.
Come sappiamo nel caso generale di una massa M distribuita in un volume V possiamo scrivere, una volta definita la sua densità ρ(x)=M(x)/V (dove x indica un punto qulasiasi del corpo considerato):

e ciò significa che integrando la densità ρ(x) su tutto il volume V si ottiene la massa M. Tuttavia nel caso di una massa considerata puntiforme (come quella di un elettrone) non possiamo indicare la sua densità di massa come ρ(x)=M(x)/V perché per V-->0 avremmo un valore infinito (e un integrale nullo)** ma dobbiamo indicarla come Mδ(x) dove δ(x) è la delta di Dirac prima definita.

Infatti integrando Mδ(x) sul volume V avremo per la definizione della delta data sopra (poniamo ø(x)=1 e moltiplichiamo per M entrambi i membri dell'equazione che definisce la delta):

dove abbiamo indicato il passaggio al limite, di solito sottinteso, con il raggio R della particella che tende a zero (vedi Wikipedia).
Nota: in effetti si può mostrare che la delta può essere considerata proprio come il limite di alcune particolari successioni di funzioni, come ad esempio la funzione gaussiana (vedi Wikipedia).

(*) Si può immaginare una successione di funzioni che hanno picchi sempre più alti e diventano sempre più strette in x=0, mantenendo costante e pari a 1 l’area sotto la curva, con il valore della funzione che tende a zero in ogni punto, eccetto nello zero dove tende all’infinito.
(**) Si noti che l'integrale di densità di una massa puntiforme, essendo la densità infinita solo in un punto mentre è nulla nel resto dello spazio, è in realtà nullo secondo la misura di Lebesgue (vedi Wikipedia).

Velocità di Fase e di Gruppo!

Diamo subito le due definizioni di velocità di fase e di gruppo di un'onda:
"In fisica la velocità di fase è la velocità con cui si propaga la fase di un'onda, sia essa elettromagnetica o meccanica. La velocità di fase* può essere visualizzata come la velocità di propagazione di una cresta dell'onda ma non coincide necessariamente con la velocità di propagazione di un segnale che è invece descritta dalla velocità di gruppo" (vedi Wikipedia);
e
"La velocità di gruppo di un'onda è la velocità con cui si propagano nello spazio le variazioni nella forma dell'ampiezza dell'onda. Si tratta della velocità dell'inviluppo o modulante dell'onda" (vedi Wikipedia).

Ricordiamo, prima di chiarire le due definizioni, che in generale un'onda è definita formalmente come f(x,t)=f(x±Vt) (vedi il post "Ma cos'è una 'Onda'?") dove V è una costante (che definiremo di seguito) dell'onda che si propaga lungo l'asse X.

Se ad esempio consideriamo un'onda piana sinusoidale essa è rappresentata dalla seguente funzione**:

f(x,t)=Acos(kx±wt)

dove k=2π/L e w=2π/T (L e T sono la lunghezza e il periodo dell'onda) mentre A indica l'ampiezza dell'onda e l'argomento S=kx±wt viene definito come fase dell'onda periodica*** (dove il segno ± indica l'avanzamento lungo l'asse positivo o negativo dell'onda).

Nota: presi due istanti di tempo t₂>t₁ e date le ascisse x₂=Vt₂ e x₁=Vt₁ segue x₂>x₁ e x₁-Vt₁=x₂-Vt₂; quindi l'argomento (x-Vt) rappresenta un'onda che si sposta nella direzione positiva dell'asse X (viceversa per -V si ha (x+Vt)).

Ora se consideriamo un'onda ideale f(kx±wt), essa è per ipotesi non dispersiva (cioè mantiene la stessa forma durante la propagazione) e inoltre non dissipa energia. Ciò significa che dato un punto P dell'onda durante lo spostamento, questa ripresenta periodicamente lo stesso valore (cioè risulta f_p(kx±wt)=costante) ogni volta che la fase S risulta:

S=kx±wt=costante 

da cui segue derivando S rispetto al tempo (cioè dS/dt=kdx/dt±w=0):

V=dx/dt=±w/k

perciò V definisce la velocità di fase di un punto P qualsiasi dell'onda.

Per chiarire invece il concetto di velocità di gruppo vediamo un semplice esempio. Consideriamo due diverse onde periodiche, rispettivamente con velocità di fase V₁=w₁/k₁ e V₂=w₂/k₂ ma stessa ampiezza A₀, che si propagano lungo l'asse X:

A₁(x,t)=A₀cos(k₁x-w₁t)   e   A₂(x,t)=A₀cos(k₂x-w₂t).

Quindi per sovrapposizione, cioè facendo la loro somma algebrica (usando le formule di prostaferesi per la somma dei coseni) si ottiene una terza onda che chiameremo A₃(x,t):

A₃(x,t)=A₁(x,t)+A₂(x,t)=A(x,t)cos(kx-wt)

dove w=(w₁+w₂)/2, k=(k₁+k₂)/2 e dove in particolare risulta per l'ampiezza A(x,t) (definita modulante dell'onda):

A(x,t)=2A₀cos[(k₁-k₂)x-(w₁-w₂)t]/2.

Nota: per tutte le onde definite dalla generica funzione f(x,t)=f(x±Vt), che ricordiamo è una soluzione dell'equazione differenziale delle onde, vale il principio di sovrapposizione: date due o più soluzioni di questa equazione, anche la loro somma algebrica è una soluzione della stessa equazione.

Si noti che anche A₃(x,t) è formalmente un'onda, poiché ottenuta per sovrapposizione di due onde (si veda la nota sopra); in effetti l'ampiezza A(x,t) ha il solo effetto di modulare l'onda A₃(x,t) che ha pulsazione w e numero d'onda k.
Possiamo perciò derivare la velocità di fase dell'onda A₃(x,t), che come abbiamo visto sopra sarà data dal rapporto w/k:

V=w/k=(w₁+w₂)/(k₁+k₂).

Tuttavia si osservi che anche l'ampiezza A(x,t)=2A₀cos(kx-wt) si comporta come un'onda con pulsazione w=(w₁-w₂)/2 e numero d'onda k=(k₁-k₂)/2.

Quindi possiamo derivare (in modo analogo a quanto fatto sopra per V) la velocità con cui si muovono i piani di fase costante dell'ampiezza A(x,t) (ad esempio i massimi di A(x,t)); infatti posto:

S=kx-wt=costante

segue per derivazione di S (cioè dS/dt=kdx/dt-w=0):

V_g=dx/dt=(w₁-w₂)/(k₁-k₂)=∆w/∆k

che è la velocità di gruppo V_g della modulante A(x,t) dell'onda portante cos(wt-kx), essendo l'onda complessiva: A₃(x,t)=A(x,t)cos(wt-kx).

Si osservi che l'onda A₃(x,t) si dice dispersiva proprio perché non mantiene la stessa identica forma durante la propagazione (essendo V_g≠V) ma viene modulata dall'ampiezza A(x,t).

Nota: se per le due onde A₁ e A₂ avessimo V=w₁/k₁=w₂/k₂ risulterebbe V=V_g senza avere dispersione ma solo traslazione del segnale.
(Qui puoi visualizzare l'effetto di dispersione delle onde con V_g≠V)

Inoltre se le differenze delle pulsazioni e dei numeri d'onda sono molto piccole (cioè nel nostro caso se dw≈(w₁-w₂) e dk≈(k₁-k₂)) allora risulta:

V_g=dw/dk.

Tuttavia possiamo anche scrivere dw/dk=d(1/T)/d(1/L)=d(V/L)/d(1/L) (essendo w=2π/T, k=2π/L e V=L/T) da cui facendo uso delle regole di derivazione:

d(1/L)/dL=-1/L²   e   d(V/L)/dL=(1/L)dV/dL-V/L²

risulta infine

V_g=[(1/L)dV/dL-V/L²]/(-1/L²)=V-LdV/dL.

Come risulta da questa equazione V_g dipende da come varia V in funzione della lunghezza d'onda L (come in effetti accade nei mezzi dispersivi dove V_g≠V); se invece fosse V=w₁/k₁=w₂/k₂=costante allora dV/dL=0 e avremmo V=V_g senza dispersione.
Nota: si può anche ottenere più semplicemente la dipendenza di V_g dal numero d'onda k cioè V_g=dw/dk=dkV/dk=V+kdV/dk essendo w=kV.

In generale (per una dispersione normale) si ha V_g<V ma nei casi di dispersione anomala risulta V_g>V (anche quando V=c); tuttavia la velocità dell'informazione trasmessa dall'onda è sempre minore della velocità della luce in accordo con quanto previsto dalla teoria della relatività (evitando così paradossi causali, vedi il post "Prima la causa e poi... l'effetto?").

Nota: la velocità con cui si propaga l'energia è proprio quella del pacchetto d'onde in cui essa è confinata poiché all'esterno del pacchetto non si hanno moti oscillatori (esclusi i casi anomali superluminali in cui V_g>c).

(*) La velocità di fase non ha significato fisico ma solo analitico, poiché viene definita per treni d'onde di lunghezza infinita e di durata infinita: tali fenomeni ondulatori non sono riscontrabili in natura.
(**) Qualsiasi funzione così definita f(x,t)=f(x±Vt) (cioè con argomento S=x±Vt) rappresenta un'onda; ad esempio f(x,t)=(x±Vt)² oppure f(x,t)=sin[k(x±Vt)]³ sono onde che si propagano lungo X e anche kS=k(x±Vt)=kx±wt con k=2π/L e kV=kL/T=w è un argomento valido.
(***) In generale una funzione periodica di pulsazione w=2π/T può sempre essere rappresentata (sotto opportune ipotesi) come una somma di funzioni sinusoidali di opportuna ampiezza e di pulsazione multipla di quella fondamentale (vedi il post "Onde, armoniche e... Fourier!").