Il Campo Elettro&Magnetico

Riprendiamo il precedente post "Elettro e Magnetismo" in cui è stato introdotto il concetto di campo elettrico e quello di campo magnetico presi separatamente.

Vediamo ora cosa si intende invece con campo elettromagnetico considerato nel suo insieme* (vedi Wikipedia):
"Il campo elettromagnetico è dato dalla combinazione del campo elettrico E e del campo magnetico B: il campo elettrico è un campo di forze conservativo generato nello spazio dalla presenza di cariche elettriche stazionarie, mentre il campo magnetico è un campo vettoriale non conservativo generato da cariche in moto".
Nota: si ricordi che "mentre nell'elettrostatica sono le cariche ad essere approssimativamente stazionarie, nella magnetostatica sono le correnti ad essere approssimativamente stazionarie" cioè invarianti rispetto al tempo (vedi Wikipedia).

Questo campo combinato è responsabile dell'interazione elettromagnetica** infatti nel suo insieme "il campo elettromagnetico genera una forza F_tot che agisce su una particella carica, data dall'equazione generale di Lorentz:

F_tot=q(E+vxB)

dove q è la carica della particella e v è la sua velocità".
Nota: spesso solo la forza dovuta al campo magnetico F_B=qvxB viene denominata forza di Lorentz.

Si osservi che la relazione vettoriale vxB implica che la forza F_B=qvxB esercitata dal campo magnetico sulla carica in moto q è sempre perpendicolare alla traiettoria della particella.

È per questo motivo che la potenza della forza, o meglio la variazione istantanea di energia cinetica W così definita*** (posto F_tot=costante):

W=dL/dt=F_totds/dt=F_totv 

risulta proporzionale solo al campo elettrico:

W=F_totv=q(E+vxB)v=qEv

essendo il prodotto scalare (vxB)v=0 (poiché (vxB)⊥v).

In definitiva "la variazione istantanea di energia cinetica della particella (cioè la potenza della forza W) è interamente dovuta alla componente del campo elettrico E lungo la direzione del moto, mentre il campo magnetico B non ha effetto sull'energia cinetica. Questa è la ragione per cui, negli acceleratori di particelle, i campi elettrici servono ad aumentare l'energia cinetica delle particelle, mentre i campi magnetici sono usati per mantenere il fascio entro la traiettoria desiderata" (vedi Wikipedia).

(*) Stiamo qui considerando il caso statico, nel caso dinamico invece "la variazione temporale di uno dei due campi determina sempre il manifestarsi dell'altro: campo elettrico e campo magnetico sono caratterizzati da una stretta connessione, stabilita dalle quattro equazioni di Maxwell" (vedi Wikipedia).

(**) Ricordiamo che in assenza di sorgenti (cioè cariche e correnti) il campo elettromagnetico si può sviluppare come una onda elettromagnetica; la forza esercitata dal campo e.m. dinamico su una carica q (in un punto r al tempo t) è data come nel caso statico: F_tot(r,t)=q(E(r,t)+vxB(r,t)).
(***) Poiché risulta dL=F_totds=d(mv²/2) (vedi il post "Il Teorema della 'Vis Viva'") possiamo definire la potenza della forza come W=dL/dt=d(mv²/2)/dt e cioè come la variazione istantanea di energia cinetica.

Il dualismo onda-particella

Proviamo ora ad introdurre il concetto di dualismo onda-particella a cui abbiamo accennato nel post "Il Fotone che 'media'".

Vogliamo innanzitutto ricordare che (seguendo Wikipedia):
"In fisica con l'espressione dualismo onda-particella (o dualismo onda-corpuscolo) ci si riferisce al fatto, espresso all'interno del principio di complementarità, che le particelle elementari, come l'elettrone o il fotone, mostrano una duplice natura, sia corpuscolare sia ondulatoria".

Innanzitutto è importante sottolineare l'evidenza sperimentale di tale comportamento che tuttavia può sembrare paradossale:
"Tale evidenza nasce dall'interpretazione di alcuni esperimenti compiuti all'inizio del XX secolo: ad esempio l'effetto fotoelettrico suggeriva una natura corpuscolare della luce, che, d'altra parte, manifestava proprietà chiaramente ondulatorie nel fenomeno della diffrazione".
Nota: sull'aspetto corpuscolare della luce vedi il post "Un effetto Foto-elettrico!".

In realtà il paradosso è solo apparente se si osserva, come fece il fisico Niels Bohr, che "tali aspetti, come quello corpuscolare e ondulatorio, sono solo complementari in senso concettuale e non possono essere osservati contemporaneamente in quanto escludentisi a vicenda: l'osservazione dell'uno preclude cioè quella dell'altro" (vedi Wikipedia).

Il significato fisico del dualismo onda-particella è perciò da interpretare correttamente, poiché non porta a nessun paradosso sperimentale; nella realtà sperimentale, infatti, si presenta sempre e solo uno o l'altro dei due aspetti (ondulatorio o particellare) i quali, come oggi sappiamo, caratterizzano entrambi la natura fisica delle particelle elementari*.
Nota: sulla natura ondulatoria delle particelle vedi il post "L'ipotesi di de Broglie: L=h/p".

(*) In effetti un fenomeno fisico come l'effetto Compton si può interpretare sia con il modello corpuscolare che con quello ondulatorio (vedi il post "Effetto Compton: onda o particella?"); ciò non è paradossale poiché entrambe le interpretazioni portano allo stesso risultato riscontrato nell'esperimento.

Il Fotone che "media"

In relazione al post "Elettro e Magnetismo", dove abbiamo definito l'interazione elettrica e quella magnetica, introduciamo ora la particella che, in un senso fisico ben definito, media tale interazione (vedi Wikipedia):
"Il fotone (dal greco φῶς gen. φωτός "phòs, photòs" che significa luce) è secondo il modello standard una particella elementare, quanto della radiazione elettromagnetica e mediatore dell'interazione elettromagnetica".

Inoltre "come per tutte le particelle elementari, la meccanica quantistica ne mostra il dualismo onda-particella e ne determina le proprietà intrinseche, quali carica elettrica nulla, massa invariante nulla e spin intero".

Nota: per una introduzione al comportamento duale delle particelle vedi il post "Il dualismo onda-particella".

In particolare si può mostrare che avendo "massa a riposo nulla, il fotone determina l'azione dell'interazione elettromagnetica a grande distanza, ciò che rende la propagazione del campo elettromagnetico osservabile su scala macroscopica".

Nota: inoltre come tutti i corpi di massa a riposo nulla, deve viaggiare alla velocità della luce (vedi il post "Massa a riposo 'nulla'!").

Si osservi anche che essendo una particella elementare, il fotone non ha bisogno di nessun supporto fisico per propagarsi nello spazio (come invece suppone il modello ondulatorio classico della radiazione elettromagnetica).

Nota: nella definizione generale (e formale) di onda non è necessario presupporre un mezzo di trasmissione affinché il fenomeno ondoso si propaghi nello spazio (vedi il post "Ma cos'è una 'onda'?").

Non è però possibile spiegare in modo intuitivo come lo scambio di fotoni virtuali tra particelle e campi possa produrre l'interazione elettromagnetica; in effetti il fotone stesso è un oggetto fisico complesso che per essere correttamente interpretato richiede la conoscenza di molti termini fisici che qui abbiamo solo enunciato, come ad esempio quelli di particella elementare, quanto di radiazione, mediatore di interazione, dualismo onda-particella, massa a riposo nulla, spin a valore intero, etc.

Nota: per approfondire il significato fisico di fotone vedi in particolare i due post "Effetto Compton: onda o particella?" e "Un effetto Foto-elettrico!".

Come abbiamo visto in questo post, e come vedremo in altri prossimi di questo blog, il significato fisico di molti termini scientifici non può essere dato a prescindere dalla conoscenza di diversi concetti fisici e dalla loro corretta interpretazione; sicuramente avremo modo di chiarire ed approfondire almeno alcuni dei termini qui citati nei prossimi post*.

(*) In ultima analisi un fotone è solo un nome per l'unità quantizzata di energia di un oscillatore armonico quantistico.

Elettro e Magnetismo

In questo post vedremo come viene definita l'interazione elettrica e quella magnetica con particolare attenzione al concetto di campo.

In generale come afferma Wikipedia:
"In fisica, l'interazione elettromagnetica è una delle quattro interazioni fondamentali previste dal Modello Standard, il cui mediatore è il fotone. Si tratta della forza generata dal campo elettromagnetico, il quale si propaga nello spazio per mezzo della radiazione elettromagnetica, un fenomeno ondulatorio che non richiede alcun supporto materiale per diffondersi nello spazio e che nel vuoto viaggia alla velocità della luce. La forza elettromagnetica è responsabile dell'interazione tra due oggetti carichi, sorgenti del campo elettromagnetico".
Nota: nella definizione generale e formale di onda non è necessario presupporre un mezzo di trasmissione affinché il fenomeno ondoso si propaghi nello spazio (vedi il post "Ma cos'è una 'onda'?").

Si nota subito, dalla definizione data sopra, come sia necessario conoscere il significato fisico di diversi concetti; in particolare è fondamentale il concetto di campo, che può essere così introdotto:
"In fisica, un campo è un tensore (e quindi in particolare un vettore) che dipende dalle coordinate dello spazio (o, più generalmente, dello spaziotempo)" (vedi Wikipedia).

Possiamo quindi definire il campo elettrico (Wikipedia):
"Il campo elettrico è un campo di forze conservativo* generato nello spazio dalla presenza di cariche elettriche stazionarie. Il vettore campo elettrico E in un punto è definito come il rapporto tra la forza elettrica generata dal campo su un oggetto carico e la carica q dell'oggetto stesso:

E=lim_q-->0 F/q ".

Nota: la carica di prova q viene fatta tendere a zero proprio per non perturbare il campo elettrico mentre il rapporto F/q resta costante**.

Mentre con campo magnetico si intende (Wikipedia):

"Il campo magnetico è un campo vettoriale non conservativo*** generato da cariche in moto. Il campo magnetico B agisce su oggetti carichi in moto attraverso una forza, detta forza di Lorentz, data da: 

F=qvxB

dove x indica il prodotto vettoriale, q è la carica elettrica dell'oggetto e v è la velocità della carica".
Nota: con prodotto vettoriale vxB si intende un vettore ortogonale sia a v che a B (orientato secondo la regola della mano destra) il cui modulo è pari a vBsinθ (dove θ è l'angolo tra v e B).

Poiché lo stato di moto dipende dal sistema di riferimento, campo elettrico e campo magnetico sono in realtà due aspetti dello stesso fenomeno: se infatti in un dato sistema inerziale la carica è in quiete e quindi viene rilevato solo il suo campo elettrico, in un altro sistema inerziale la carica può trovarsi in moto con velocità v e quindi si osserverà anche un campo magnetico.

Ricordiamo inoltre che nel post "Energia potenziale<=>Forza conservativa" avevamo definito cosa si intende con forza conservativa; mentre gli altri termini che compaiono nella definizione di campo elettrico e campo magnetico li chiariremo meglio nei prossimi post.
Nota: in particolare per la definizione di campo elettromagnetico vedi il post "Il Campo Elettro&Magnetico".

(*) Per chiarimenti sui campi di forze conservativi vedi il post "Campo conservativo=>irrotazionale!".
(**) Ad esempio la forza generata da una carica Q su una carica di prova q è definita come F=kqQ/r² dove k è la costante di Coulomb ed r la distanza tra le due cariche; perciò risulta E=kQ/r² che è indipendente dalla carica q.
(***) Per chiarimenti sui campi di forze non conservativi vedi il post "E se le forze non sono conservative?".

Il Principio di Equivalenza: ma=mg

Nel post "Un forza del tutto... apparente!" abbiamo visto come, in base alla particolare scelta del sistema di riferimento non inerziale, l'osservatore possa percepire una forza apparente che non esiste realmente (cioè non è causata dall'interazione con altri corpi).

Ci chiediamo quindi se, seguendo questo principio, è possibile scegliere un sistema di riferimento non inerziale che, per così dire, simuli in modo perfetto la forza prodotta da un campo gravitazionale (rispetto all'osservatore in quiete nel sistema non inerziale).
Nota: come vedremo di seguito in generale ciò è sempre possibile ma solo localmente.

A questo scopo introduciamo una ben definita ipotesi fisica chiamata Principio di Equivalenza:
"Un osservatore solidale con delle masse in moto accelerato, non è in grado di distinguere se l'accelerazione è dovuta ad una forza esterna [che agisce sul laboratorio in cui si trova l'osservatore] oppure se è prodotta da un campo gravitazionale che agisce sull'osservatore e sulle masse [che si trovano in un sistema in quiete]" (vedi Wikipedia).

In particolare per illustrare questo principio, Einstein fece l'esempio di un ascensore in moto (vedi Wikipedia):
"L'esperimento mentale è quello di immaginare un ascensore nello spazio che trasporta un osservatore e altri oggetti pesanti.
Se l'ascensore è spinto da una forza esterna verticale, l'osservatore e gli oggetti sentiranno un'accelerazione e inizieranno a muoversi verso l'alto.

Analogamente, in presenza di un campo gravitazionale fuori dall'ascensore in quiete, le loro masse saranno spinte verso il basso (esattamente come accade quando l'ascensore è accelerato da una forza esterna verso l'alto).

Dall'interno dell'ascensore, non si può stabilire se al di fuori c'è una forza che esercita una pressione, o una massa in quiete che le attrae".
Nota: il principio afferma quindi l'equivalenza della forza gravitazionale F_g e della forza apparente F_i dovuta ad un sistema non inerziale: F_g=F_i.

Si osservi inoltre che in un riferimento non inerziale che si muovesse con una accelerazione uguale a quella gravitazionale, i corpi sarebbero sottoposti ad una forza nulla (dato che la forza apparente sarebbe uguale e contraria a quella gravitazionale) e quindi questo riferimento sarebbe equivalente a uno inerziale (sempre per il principio di equivalenza).

Nota: in pratica gli oggetti di un tale sistema in caduta libera sarebbero senza peso: un dinamometro ad essi applicato misurerebbe una forza nulla.

Per essere più precisi il principio di equivalenza, in generale, ha un significato esclusivamente locale* poiché esattamente afferma:
"All'interno di un qualsiasi campo gravitazionale è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento (non inerziale) rispetto al quale è possibile definire un intorno di un punto in cui gli effetti dell'accelerazione dovuti a quel campo gravitazionale sono nulli" (vedi Wikipedia).

Nota: possiamo cioè scegliere un sistema di riferimento che produce effetti uguali e contrari ad un qualsiasi campo gravitazionale, in modo da annullarlo almeno localmente.

Ora è immediato mostrare** (avendo posto F_g=F_i) che da questo principio discende l'equivalenza tra massa gravitazionale e massa inerziale; ciò in pratica significa che "la proprietà intrinseca di un corpo materiale di opporsi alle variazioni di moto, e la massa gravitazionale, che rappresenta la proprietà di un corpo di essere sorgente e di subire l'influsso di un campo gravitazionale, sono numericamente uguali".

Si noti però che sebbene l'identità della massa inerziale e gravitazionale sia stata provata sperimentalmente in modo molto preciso, ciò non dimostra che sia sempre possibile scegliere un sistema non inerziale in modo che un osservatore sperimenti (almeno nel suo intorno) una forza equivalente a quella di un campo gravitazionale; questa possibilità resta pur sempre un'ipotesi o principio fisico da verificare sperimentalmente***.

Il significato fisico del principio di equivalenza rimane quindi quello di un postulato a priori della teoria fisica, da cui infatti Einstein prese le mosse per formulare la sua più volte verificata Teoria della relatività generale.

(*) Nell'esempio dell'ascensore, se il campo gravitazionale fosse quello esercitato dalla Terra gli oggetti tenderebbero a dirigersi verso il suo centro (poiché il campo non è uniforme); ciò non accadrebbe se fosse invece l'ascensore a muoversi di moto accelerato verso l'alto nello spazio vuoto: perciò l'equivalenza vale in generale solo in un intorno di un punto fissato.
(**) Nel principio di equivalenza dobbiamo considerare due tipi di forze: quella del campo gravitazionale F_g=m_gg e quella del sistema non inerziale F_i=m_ia; se si fa in modo che risulti a=g (come nell'esempio dell'ascensore) allora per il principio di equivalenza, che afferma l'identità F_g=F_i, ne consegue che m_g=m_i cioè massa gravitazionale e inerziale devono coincidere.
(***) Dal principio di equivalenza discende direttamente la curvatura dei raggi di luce in presenza di un campo gravitazionale; infatti se in un sistema in quiete la luce viaggia in linea retta, allora in un sistema accelerato, che simula il campo gravitazionale, assisteremo ad una deflessione della luce che dipende dal tipo di accelerazione impressa al sistema (e quindi dal campo gravitazionale equivalente).

Una forza del tutto... apparente!

Partiamo dalla definizione generale di forza apparente data da Wikipedia:
"In fisica, una forza apparente è una forza che un osservatore solidale con un sistema di riferimento non inerziale vede come agente, al pari delle altre forze (forze reali), ma che non deriva da alcuna interazione fisica diretta: essa trae origine dall'accelerazione del sistema di riferimento considerato".
Nota: un riferimento non è inerziale se ruota o accelera rispetto ad un sistema inerziale (vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?").

L'esempio classico di una forza apparente (cioè non generata direttamente dall'interazione con altri corpi) è quello della forza centrifuga; ricordiamo infatti che "la forza centrifuga è una forza che appare agire su di un corpo che si muove di moto circolare, quando tale moto viene analizzato in un sistema di riferimento ad esso solidale e, quindi, in un sistema di riferimento non inerziale" (vedi Wikipedia).

Esaminiamo infatti le forze che agiscono su un corpo in moto circolare da due diversi sistemi di riferimento:

-> Riferimento inerziale: rispetto a questo sistema l'osservatore vede il corpo in moto circolare e quindi presume che sullo stesso agisca una forza centripeta (poiché se non agisse nessuna forza il corpo continuerebbe a muoversi di moto rettilineo uniforme per la prima legge di Newton);

-> Riferimento non inerziale: il sistema ora è quello solidale al corpo in moto circolare e quindi, oltre alla forza centripeta (che giustifica il moto circolare del corpo rispetto ad un sistema inerziale), l'osservatore dovrà introdurre anche una forza centrifuga uguale ed opposta per giustificare il fatto che il corpo si trova in quiete rispetto al proprio riferimento.
Nota: è sempre possibile rilevare il moto non inerziale di un riferimento, anche dal suo interno, verificando che la legge di Newton non è più valida. 

Da questo esempio si evince come la forza centripeta sia in effetti una forza reale (che produce effetti in entrambi i sistemi di riferimento) mentre quella centrifuga sia apparente proprio perché dovuta esclusivamente al sistema di riferimento non inerziale nel quale si trova l'osservatore.

Ciò significa, in generale, che se vogliamo continuare ad usare le leggi di Newton dobbiamo per forza giustificare con una forza apparente lo stato di quiete (o di moto apparente) quando ci troviamo in un riferimento non inerziale*.

Si osservi inoltre che i due osservatori possono sempre stabilire se sono in moto inerziale o accelerato (anche se in pratica non è mai così semplice, vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?") e quindi se sono soggetti a forze apparenti oppure reali.

(*) Ad esempio "nell'analisi di ogni sistema fisico situato sulla Terra, sarà necessario prevedere l'esistenza di due forze apparenti, la forza di Coriolis e la forza centrifuga" se vogliamo descrivere lo stato di moto del sistema in quel riferimento (vedi Wikipedia).

(Vedi il post "Coriolis e le coordinate Polari!" per la derivazione formale di queste due forze apparenti).

La definizione operativa di Forza

Ecco come viene definito il concetto di forza in fisica (secondo Wikipedia):
"Una forza è una grandezza fisica vettoriale che si manifesta nella interazione di due o più corpi, sia a livello macroscopico, sia a livello delle particelle elementari; la sua caratteristica è quella di indurre una variazione dello stato di quiete o di moto dei corpi stessi".

Più precisamente "una forza F è descritta classicamente dalla seconda legge di Newton come derivata temporale della quantità di moto p=mv di un corpo di massa m rispetto al tempo. In formule:

F=dp/dt=d(mv)/dt

che, nel caso la massa del corpo sia costante, si riduce a:

F=mdv/dt=ma"

dove a=dv/dt è l'accelerazione impressa al corpo che ha velocità istantanea v(t)".

Nota: la definizione di forza vale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?"); nel caso di sistemi non inerziali si devono introdurre le forze apparenti (come descritto nel post "Una forza del tutto... apparente!").

In particolare ricordiamo che (vedi Wikipedia) "a livello pratico le forze applicate ad un corpo possono avere due diversi tipi di effetti:
-> effetti dinamici: inducono come si è detto variazioni nella quantità di moto del corpo; la dinamica analizza appunto gli effetti delle forze sul movimento;
-> effetti statici: il corpo, anche se sottoposto a forze, rimane in quiete; ciò accade quando le forze presenti si bilanciano esattamente"; l'analisi di questi effetti viene definita dalla statica.

Nel caso dinamico possiamo perciò definire operativamente una determinata forza misurando con precisione sia la massa che l'accelerazione impressa al corpo in esame (essendo F=ma).
È però doveroso osservare che il problema di verificare l'accelerazione di un corpo è strettamente legato alla scelta del relativo sistema di riferimento inerziale, di cui non è facile dare una definizione priva di ambiguità (vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?").

Mentre nel caso statico possiamo così definire la forza in modo operativo (vedi Wikipedia):
"Una definizione statica di forza è possibile misurando la deformazione di un corpo che segua la legge di Hooke, cioè tale che la deformazione sia direttamente proporzionale alla forza applicata. Inoltre utilizzando la proprietà lineare delle molle è possibile costruire degli strumenti di misura delle forze, detti dinamometri"*.

Ma anche in questo secondo caso, nonostante si possano costruire degli strumenti di misura delle forze come i dinamometri, non abbiamo risolto il problema di attribuire un preciso significato fisico alla forza stessa.
Infatti anche questa definizione operativa non è una definizione diretta (cioè non fa riferimento a grandezze fondamentali come lo spazio o il tempo, usate ad esempio per definire la velocità di un corpo) ma si basa a sua volta sugli effetti prodotti da un'altra forza nota (ad esempio la forza peso) su cui viene in effetti tarato lo strumento di misura (ad esempio la molla).

La forza ha quindi una definizione sempre indiretta che si basa sugli effetti che essa produce (cioè la variazione dello stato di moto di un corpo o la deformazione elastica di una molla): dobbiamo perciò tener conto di come questi effetti vengono valutati nell'attribuirle un significato fisico corretto (come il sistema di riferimento utilizzato oppure il tipo di molla adoperato).

(*) La legge di Hooke afferma che l'allungamento ∆x prodotto in una molla è direttamente proporzionale alla forza F impressa: F=-k∆x (dove k è il coefficiente elastico della molla). È evidente che tale legge vale solo per una "molla perfetta o ideale, cioè una molla priva di peso, di massa, in assenza di attrito e di altri fenomeni dissipativi" (vedi Wikipedia).